[PS] Add tips and tricks for various concepts

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/03_p-value.tex

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 \subsection{p-Wert}
 Für Stichprobe $\cX_i$ ($n$ el.) testen $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$ gegen eine $H_A : \vartheta \in \Theta_A$.
 
-$p$-Wert ist W. unter $H_0$ einen mind. so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$ (extrem bezieht sich auf $H_A$).
-Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
+$p$-Wert ist W. unter $H_0$ einen mindestens so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$, angenommen, dass die Nullhypothese korrekt ist.
+% Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
 
 \shortdefinition[Geordnete Testsammlung]
 $T$ Teststatistik, Familie von Tests $(T, K_t)_{t \geq 0}$ \bi{geordnet bezgl. $T$}, falls $\forall t$ gilt $K_t \subseteq \R$ und $\forall s \leq t$ gilt $K_s \supset K_t$.
@@ -21,3 +21,12 @@ Wenn $T$ stetig und $K_t = (t, \8)$, dann gleichverteilt auf $[0, 1]$.
 
 \inlineintuition Besagt, welche Tests $H_0$ ablehnen würden (alle Tests mit $\alpha > p$ lehnen $H_0$ ab). $H_A$ spielt \textit{keine} Rolle.
 Es heisst \textit{NICHT}, dass der $p$-Wert die W. \textit{IST}, dass die Hypothese richtig ist.
+
+\howto{Berechnung $p$-Wert}{
+    \begin{itemize}
+        \item Für rechtsseitigen Test: $p_r = \P[T \geq t]$
+        \item Für linksseitigen Test: $p_l = \P[T \leq t]$
+        \item Für beidseitigen Test: $p = 2 \min\{ p_l, p_r \}$, falls Verteilung symmetrisch um $0$, dann $p = \P[|T| \geq |t|]$
+    \end{itemize}
+    wobei für alle $t$ eine Realisierung der Teststatistik $T$ ist.
+}