[PS] Add tips and tricks for various concepts

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/02_examples.tex

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 \subsection{Beispiele}
-\coloredbox{red}{REWRITE}{
-    This section is undergoing a rewrite, to be more on-point. The previous section may also see some changes as a result.
-}
 \howto{Tests}{
     Was zu tun / erwähnen ist jeweils:
     \begin{enumerate}
@@ -9,14 +6,17 @@
               Für $\cX_k \sim \cN(\mu, \sigma^2)$, ist $\vartheta = (\mu, \sigma^2)$, wenn beide unbekannt.
         \item Hypothesen: $H_0: \vartheta = \vartheta_0 =$ Vergleichswert, $H_A: \vartheta < \vartheta_0$ (oder grösser, $\neq$, etc). \hl{Umgekehrt, s. links}
         \item Teststatistik: Basierend auf Verteilung von $\cX_k$ und Bekanntheit von Parametern
-        \item Verteilung von $T$: Oft $t_{n - 1}$, siehe \ref{sec:estimators-properties} unten
+              (bspw. mit Theoremen von \ref{sec:dist-normal}, wie Normalisierung,
+              und bswp. $\sum_{i = 1}^n \cX_i \sim \cN\left( \sum_{i = 1}^{n} \mu_i, \sum_{i = 1}^{n} \sigma_i^2 \right)$)
+        \item Verteilung von $T$: Oft $t_{n - 1}$, siehe \ref{sec:estimators-properties} unten, oder bei entsprechendem Test
         \item Verwerfungsbereich: Nach Anleitung unten
         \item Wert der $T$: $T(\omega)$ berechnen, $\omega$ ist beobachteter Wert (bspw. Durchschnitt $\overline{\cX}_n$)
         \item Testentscheid: Basierend auf Resultat von vorherigem und $K$ entscheiden.
     \end{enumerate}
 }
-\bi{Verwerfungsbereich} $K_l = (c_>, \8)$ (links), $K_r = (-\8, c_<)$ (rechts), $K_b = (-\8, c_{\neq}) \cup (c_{\neq}, \8)$ (beidseitig)
+\bi{Verwerfungsbereich} $K_l = (c_>, \8)$ (links), $K_r = (-\8, c_<)$ (rechts), $K_b = (-\8, -c_{\neq}) \cup (c_{\neq}, \8)$ (beidseitig)
 
+\newpage
 \shortexample[Gauss-Test] Voraussetz.:
 \bi{(1)} $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\vartheta, \sigma^2)$ unter $\P_\vartheta$
 \bi{(2)} $\sigma^2$ bekannt.

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/03_p-value.tex

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 \subsection{p-Wert}
 Für Stichprobe $\cX_i$ ($n$ el.) testen $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$ gegen eine $H_A : \vartheta \in \Theta_A$.
 
-$p$-Wert ist W. unter $H_0$ einen mind. so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$ (extrem bezieht sich auf $H_A$).
-Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
+$p$-Wert ist W. unter $H_0$ einen mindestens so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$, angenommen, dass die Nullhypothese korrekt ist.
+% Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
 
 \shortdefinition[Geordnete Testsammlung]
 $T$ Teststatistik, Familie von Tests $(T, K_t)_{t \geq 0}$ \bi{geordnet bezgl. $T$}, falls $\forall t$ gilt $K_t \subseteq \R$ und $\forall s \leq t$ gilt $K_s \supset K_t$.
@@ -21,3 +21,12 @@ Wenn $T$ stetig und $K_t = (t, \8)$, dann gleichverteilt auf $[0, 1]$.
 
 \inlineintuition Besagt, welche Tests $H_0$ ablehnen würden (alle Tests mit $\alpha > p$ lehnen $H_0$ ab). $H_A$ spielt \textit{keine} Rolle.
 Es heisst \textit{NICHT}, dass der $p$-Wert die W. \textit{IST}, dass die Hypothese richtig ist.
+
+\howto{Berechnung $p$-Wert}{
+    \begin{itemize}
+        \item Für rechtsseitigen Test: $p_r = \P[T \geq t]$
+        \item Für linksseitigen Test: $p_l = \P[T \leq t]$
+        \item Für beidseitigen Test: $p = 2 \min\{ p_l, p_r \}$, falls Verteilung symmetrisch um $0$, dann $p = \P[|T| \geq |t|]$
+    \end{itemize}
+    wobei für alle $t$ eine Realisierung der Teststatistik $T$ ist.
+}