[PS] Add tips and tricks for various concepts

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/03_properties-of-measures.tex

@@ -15,6 +15,8 @@
 $\P\left[ \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right] \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$.
 Auch für end. n.-leere Ereignisse
 
+Zudem: $\limni \P[\bigcup_{i = 1}^n A_i] = \P[\bigcup_{i = 1}^\8 A_i]$
+
 
 \newpage
 \stepLabelNumber{combined}

semester4/ps/ps-jh/parts/00_basics/05_independence.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \subsection{Unabhängigkeit}
 \label{sec:basics-indep}
-\bi{Siehe zudem} Abschnitt \ref{sec:rv-indep}
+\bi{Siehe zudem} Abschnitt \ref{sec:rv-indep} (für Zufallsvariablen)
 
 \shortdefinition $A, B \in \cF$ \bi{unabh.} falls $\P[A \cap B] = \P[A] \cdot \P[B]$
 

semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/00_definition.tex

@@ -1,12 +1,13 @@
 % P22
 \subsection{Abstrakte Definition}
 \shortdefinition[Zufallsvariable] kurz Z.V, ist $\cX : \Omega \rightarrow \R$, sodass $\forall a \in \R$ gilt:
-$f = \{ \omega \in \Omega \divider \cX(\omega) \leq a \} \in \cF$ (notwendinge Bedingung für Wohldefiniertheit von $\P[f]$)
+$f = \{ \omega \in \Omega \divider \cX(\omega) \leq a \} \in \cF$ (notwendige Bedingung für Wohldefiniertheit von $\P[f]$)
 
 \inlinenotation Ohne $\omega$: $\{ X \leq a \} = \{ \omega \in \Omega \divider X(\omega) \leq a \}$, etc
 
 \shortdefinition[Indikatorfunk.] $A \in \cF$, $\bm{1_A(\omega)} = \begin{cases}
-    0 & \text{ wenn } \omega \notin A \\
-    1 & \text{ wenn } \omega \in A
-\end{cases}$
+        0 & \text{ wenn } \omega \notin A \\
+        1 & \text{ wenn } \omega \in A
+    \end{cases}$
 Das $A$ kann bspw $\cX \leq a$ sein.
+Für $A \cap B$, $\E[\bm{1}_A \bm{1}_B] = 0$ weil $A$ und $B$ nie gleichzeitig eintreten

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/05_cont-distributions/03_normal.tex

@@ -1,4 +1,5 @@
 \subsubsection{Normalverteilung}
+\label{sec:dist-normal}
 \shortdefinition $\cX \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ falls $f_\cX(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2}$,\\
 mit $\sigma$ Standardabweichung. Auch: Gauss'sche Verteilung
 

semester4/ps/ps-jh/parts/04_joint-distribution/02_remarks.tex

@@ -11,6 +11,12 @@
 
 Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen verwendbar, wie bspw. $\E[\cX + \cY]$.
 
+\howto{$cond$ auflösen}{
+    In dem Integral sollte jeweils der äussere Integral der sein, für welchen wir volle Information haben.
+    Zudem, bspw., für $0 \leq x \leq y^2 \leq 1$, wissen wir zwar für $x$ und $y$ die Grenzen, wählen aber $x$ als inneren Integral,
+    weil $\int_0^{y^2}$ sich schöner auflöst
+}
+
 \howto{Gemeinsame Dichten finden}{
     Nach Definition muss $f$ die Ableitung von $F$ sein.
     Oder umgekehrt, $\int f \dx \ldots$ sollte $F$ ergeben. Beispiel:
@@ -20,9 +26,20 @@ Die Randdichten sind dann die Dichten von $\cX$, etc.; Für weitere Berechnungen
         \end{cases}$
 }
 
-\howto{Verteilungen finden}{
+\howto{Verteilungen / Dichten finden}{
     Wir suchen $\P[\cZ \leq a]$ (ausser für gem. V, dann s. oben).
     Dann überlegen, wie $\cZ \leq a$ erfüllt werden kann. Beispiel:
     $Z = \min(\cX, \cY)$, dann gesucht: $\P[\cX \leq a \cup \cY \leq a]$ oder $1 - \P[\cZ > a]$.
-    Schliesslich $F_Z$ aufstellen mit Bedingungen.
+    Schliesslich $F_Z$ aufstellen mit Bedingungen oder Indikatorvariablen.
+
+    Zudem kann Verteilung der einzelnen Variablen (und v.a. Unabhängigkeit) nützlich werden.
+
+    Falls Dichte, dann Verteilung ableiten.
+}
+
+\howto{Multi-Variable Wahrscheinlichkeiten}{
+    \bi{Für W. wie} $\P[\cX \leq \cY^3]$ übersetzen wir dies in Integral $\int_B f(x, y) \dx x \dx y$ mit $B = \{(x, y) \divider x \leq y^3 \}$, dann für $y \in [0, 1]$ gilt:
+    $\int_0^1 \int_{0}^{y^3} f(x, y) \dx x \dx y$, wobei hier die untere Grenze durch gegebenes $x \geq 0$ entsteht.
+
+    \bi{Für W. im Exponent}, dies beschreibt typ. Repetitionen, also über die Anzahl und W. nachdenken.
 }

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/02_examples.tex

@@ -1,7 +1,4 @@
 \subsection{Beispiele}
-\coloredbox{red}{REWRITE}{
-    This section is undergoing a rewrite, to be more on-point. The previous section may also see some changes as a result.
-}
 \howto{Tests}{
     Was zu tun / erwähnen ist jeweils:
     \begin{enumerate}
@@ -9,14 +6,17 @@
               Für $\cX_k \sim \cN(\mu, \sigma^2)$, ist $\vartheta = (\mu, \sigma^2)$, wenn beide unbekannt.
         \item Hypothesen: $H_0: \vartheta = \vartheta_0 =$ Vergleichswert, $H_A: \vartheta < \vartheta_0$ (oder grösser, $\neq$, etc). \hl{Umgekehrt, s. links}
         \item Teststatistik: Basierend auf Verteilung von $\cX_k$ und Bekanntheit von Parametern
-        \item Verteilung von $T$: Oft $t_{n - 1}$, siehe \ref{sec:estimators-properties} unten
+              (bspw. mit Theoremen von \ref{sec:dist-normal}, wie Normalisierung,
+              und bswp. $\sum_{i = 1}^n \cX_i \sim \cN\left( \sum_{i = 1}^{n} \mu_i, \sum_{i = 1}^{n} \sigma_i^2 \right)$)
+        \item Verteilung von $T$: Oft $t_{n - 1}$, siehe \ref{sec:estimators-properties} unten, oder bei entsprechendem Test
         \item Verwerfungsbereich: Nach Anleitung unten
         \item Wert der $T$: $T(\omega)$ berechnen, $\omega$ ist beobachteter Wert (bspw. Durchschnitt $\overline{\cX}_n$)
         \item Testentscheid: Basierend auf Resultat von vorherigem und $K$ entscheiden.
     \end{enumerate}
 }
-\bi{Verwerfungsbereich} $K_l = (c_>, \8)$ (links), $K_r = (-\8, c_<)$ (rechts), $K_b = (-\8, c_{\neq}) \cup (c_{\neq}, \8)$ (beidseitig)
+\bi{Verwerfungsbereich} $K_l = (c_>, \8)$ (links), $K_r = (-\8, c_<)$ (rechts), $K_b = (-\8, -c_{\neq}) \cup (c_{\neq}, \8)$ (beidseitig)
 
+\newpage
 \shortexample[Gauss-Test] Voraussetz.:
 \bi{(1)} $\cX_i$ i.i.d. $\sim \cN(\vartheta, \sigma^2)$ unter $\P_\vartheta$
 \bi{(2)} $\sigma^2$ bekannt.

semester4/ps/ps-jh/parts/07_tests/03_p-value.tex

@@ -2,8 +2,8 @@
 \subsection{p-Wert}
 Für Stichprobe $\cX_i$ ($n$ el.) testen $H_0 : \vartheta = \vartheta_0$ gegen eine $H_A : \vartheta \in \Theta_A$.
 
-$p$-Wert ist W. unter $H_0$ einen mind. so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$ (extrem bezieht sich auf $H_A$).
-Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
+$p$-Wert ist W. unter $H_0$ einen mindestens so extremen Wert für $T$ zu bekommen wie $T(\omega) = t(x_1, \ldots, x_n)$, angenommen, dass die Nullhypothese korrekt ist.
+% Für bspw. $H_A: \vartheta > \vartheta_0$, dann ist $p\text{-Wert}(\omega) = \P_{\vartheta_0}[T > t_0] \Big|_{t_0 = t(\cX_1(\omega), \ldots)}$
 
 \shortdefinition[Geordnete Testsammlung]
 $T$ Teststatistik, Familie von Tests $(T, K_t)_{t \geq 0}$ \bi{geordnet bezgl. $T$}, falls $\forall t$ gilt $K_t \subseteq \R$ und $\forall s \leq t$ gilt $K_s \supset K_t$.
@@ -21,3 +21,12 @@ Wenn $T$ stetig und $K_t = (t, \8)$, dann gleichverteilt auf $[0, 1]$.
 
 \inlineintuition Besagt, welche Tests $H_0$ ablehnen würden (alle Tests mit $\alpha > p$ lehnen $H_0$ ab). $H_A$ spielt \textit{keine} Rolle.
 Es heisst \textit{NICHT}, dass der $p$-Wert die W. \textit{IST}, dass die Hypothese richtig ist.
+
+\howto{Berechnung $p$-Wert}{
+    \begin{itemize}
+        \item Für rechtsseitigen Test: $p_r = \P[T \geq t]$
+        \item Für linksseitigen Test: $p_l = \P[T \leq t]$
+        \item Für beidseitigen Test: $p = 2 \min\{ p_l, p_r \}$, falls Verteilung symmetrisch um $0$, dann $p = \P[|T| \geq |t|]$
+    \end{itemize}
+    wobei für alle $t$ eine Realisierung der Teststatistik $T$ ist.
+}

semester4/ps/ps-jh/parts/08_confidence-intervals/01_interval.tex

@@ -1,33 +1,35 @@
 \shortdefinition[Konfidenzintervall (K.I.)] mit Niveau $1 - \alpha$ ist Zufallsintervall $I = [A, B]$ s.d. $\forall \vartheta \in \Theta$ gilt:
 \[
-	\P_\vartheta[[A, B] \ni \vartheta] = \P_\vartheta[A \leq \vartheta \leq B] \geq 1 - \alpha
+    \P_\vartheta[[A, B] \ni \vartheta] = \P_\vartheta[A \leq \vartheta \leq B] \geq 1 - \alpha
 \]
 mit $A, B$ Z.V. wie $A = a(\cX_1, \ldots, \cX_n)$, mit $a, b: \R^n \rightarrow \R$.
 Dabei ist $\vartheta$ deterministisch. (\hl{Berechnung}: s. \ref{sec:distribution-function})
 
 \shortremark[Approx. K.I.] Nur wenn genaue Verteilungsaussagen zur Verfügung stehen, sind exakte K.I. möglich,
-sonst mittels zentralem Grenzwertsatz approx. berechnen ($z = z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$)
+sonst mittels zentralem Grenzwertsatz approx. berechnen (\hl{$z = z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$})
 \[
-	P_\vartheta[|S_n^*| \leq z] \approx 1 - \alpha
+    P_\vartheta[|S_n^*| \leq z] \approx 1 - \alpha
 \]
 Auflösen von untenstehendem nach $\vartheta$ ($S_n$ wie in \ref{sec:weak-law-of-large-numbers})
 \[
-	|S_n - n \vartheta| \leq z \sqrt{n \vartheta(1 - \vartheta)} \text{ bzw. } (S_n - n \vartheta)^2 \leq z^2 n \vartheta(1 - \vartheta)
+    |S_n - n \vartheta| \leq z \sqrt{n \vartheta(1 - \vartheta)} \text{ bzw. } (S_n - n \vartheta)^2 \leq z^2 n \vartheta(1 - \vartheta)
 \]
 Ist kompliziert, ersetzen der Ugl. durch Gl. (quad. Gl.)
 \[
-	\hat{\vartheta}_\pm = \frac{2 S_n + z^2 \pm \sqrt{(2 S_n + z^2)^2 - 4S_n^2(1 + \frac{z^2}{n})}}{2n(1 + \frac{z^2}{n})}
+    \hat{\vartheta}_\pm = \frac{2 S_n + z^2 \pm \sqrt{(2 S_n + z^2)^2 - 4S_n^2(1 + \frac{z^2}{n})}}{2n(1 + \frac{z^2}{n})}
 \]
 Konfidenzintervall ist $[\hat{\vartheta}_-, \hat{\vartheta}_+]$.
 
 \shade{gray}{Alternative Methoden} (Annahme $\vartheta(1 - \vartheta) \approx \frac{1}{4}$):
 \[
-	\left[\overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}}\right]
+    \left[\overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}}\right]
 \]
 (Ersetzen von $\vartheta$ durch $\overline{S}_n$):
 \[
-	\left[ \overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)} \right]
+    \left[ \overline{S}_n - \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)}, \overline{S}_n + \frac{z}{2 \sqrt{n}} \sqrt{\overline{S}_n (1 - \overline{S}_n)} \right]
 \]
 Alle Methoden liefern unterschiedliche Resultate
 
 \bi{Normalverteilung}: $\hat{\vartheta} = \overline{\cX}_n \pm z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, $I = [\hat{\vartheta}_-, \hat{\vartheta}_+]$
+
+\shortdefinition $z_{1 - \alpha} = \Phi^{-1}(1 - \alpha)$. $\alpha$ ist Verwerfungsbereich, nicht ``Akzeptanzbereich''

semester4/ps/ps-jh/probability-and-statistics-cheatsheet.tex

@@ -88,7 +88,7 @@
 % \input{parts/04_joint-distribution/}
 
 
-\newsection
+\newsectionNoPB
 \section{Das Gesetz der grossen Zahlen}
 \input{parts/05_limit-theorems/00_intro.tex}
 \input{parts/05_limit-theorems/01_weak-law-of-large-numbers.tex}