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semester4/ps/ps-jh/parts/01_random-variables/04_construction.tex

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 \subsection{Konstruktion von Zufallsvariablen}
-\shortdefinition[Bernoulli ZV] mit param. $p \in [0, 1]$ falls $\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$.
+\shortdefinition[Bernoulli ZV] mit param. $p \in [0, 1]$ falls\\
-Wir schreiben: $\cX \sim \text{Ber}(p)$
+$\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$. Not.: $\cX \sim \text{Ber}(p)$
 
-\shorttheorem[$\exists$-T v. Kolmogorov]
+\shorttheorem[$\exists$-T v. Kolmogorov] $\exists$ W-Raum und n. endl. uiv Folge von $\cX_i \sim \text{Ber}\left( \frac{1}{2} \right)$
+
+\shortdefinition ZV $U$ heisst \bi{gleichverteilt auf} [0, 1], falls\\
+$F_U(x) = \begin{cases}
+        0 & x < 0           \\
+        x & 0 \leq x \leq 1 \\
+        1 & x > 1
+    \end{cases}$.
+Wir schreiben $U \sim \cU([0, 1])$
+
+\shorttheorem $\cX_i$ wie oben, da $\cX_i(\omega) \in \{ 0, 1 \}$ konvergiert
+$\cY(\omega) = \sum_{n = 1}^{\8} 2^{-n} \cX_n (\omega)$ absolut, mit $\cY(\omega) \in [0, 1]$.
+$\cY \sim \cU([0, 1])$
+
+\shortdefinition[Pseudoinverse] von $F$ ist $F^{-1} : (0, 1) \rightarrow \R$. Def:\\
+$\forall \alpha \in (0, 1) \quad F^{-1} (\alpha) = \inf\{ x \in \R \divider F(x) \geq \alpha \}$
+
+\shorttheorem[Inversionsmethode] $F$ erfüllt eig. v. T2.4, $U \sim \cU(\dots)$, dann hat ZV $X = F^{-1}(U)$ die Verteilfunk. $F_X = F$
+
+\shortremark $X$ wohldefiniert mit $X(\omega) = F^{-1}(U(\omega))$ falls $U(\omega) \in (0, 1)$ und $X(\omega) = 0$ sonst.
+
+\shorttheorem $F_1, \ldots$ Folge von Funk. mit eig. v. T2.4. Dann $\exists$ W-Raum und Folge von unabhängigen ZV $X_i$, sodass:
+\begin{itemize}
+    \item $\forall i \; X_i$ has $F_i$ (also $\forall x\; \P[X_i \leq x] = F_i(x)$)
+    \item $X_1, X_2, \ldots$ sind unabhängig.
+\end{itemize}