[PS] Examples

semester4/ps/ps-rb/parts/03_expectation.tex

@@ -130,7 +130,8 @@ $$
 \begin{align*}
     \text{(i)}\quad         & \text{cov}(X,Y) \geq 0 \\
     \text{(ii)}\quad        & \text{cov}(X,Y) = \text{cov}(Y,X) \\
-    \text{(iii)}\quad       & X,Y \text{ unabh. } \implies \text{cov}(X,Y) = 0\quad \text{\subtext{Nicht umgekehrt!}} \\
+    \text{(iii)}\quad       & X,Y \text{ unabh. } \implies \text{cov}(X,Y) = 0\\
+                            & \text{\color{gray}\footnotesize Nicht umgekehrt, $Y=X^2$ hat z.B. $\text{Cov}(X,Y)=0$} \\
     \text{(iv)}\quad        & \V[X \pm Y] = \V[X] + \V[Y] \pm 2\text{cov}(X,Y) \\
     \text{(v)}\quad         & \text{cov}\Biggl( \sum_{i=1}^{n}X_i,\sum_{j=1}^{n}Y_i \Biggr) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\text{cov}(X_i,Y_j) \\
     \text{(vi)}\quad        & \text{cov}(aX+b, cY+d) = ac\cdot\text{cov}(X,Y) \\

semester4/ps/ps-rb/parts/04_joint-distributions.tex

@@ -68,7 +68,8 @@ $$
 
 % Bedingte Dichten fehlen noch, siehe HW5, F3
 
-\theorem \textbf{Erwartungswert}
+\theorem \textbf{Erwartungswert}\\
+\subtext{z.B. $\E[XY] = \int_{-\infty}^{\infty}(xy)\cdot f_{X,Y}(x,y)$.}
 \begin{align*}
     &\E\Bigl[ \phi(X_1,\ldots,X_n) \Bigr] \\
     &= \int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\phi(x_1,\ldots,x_n)\cdot f(x_1\cdots x_n)\ dx_n\ldots dx_1    
@@ -83,11 +84,25 @@ $$
 
 {\scriptsize
     \remark Unabhängige stetige Variablen sind automatisch gemeinsam stetig
+
+    \remark Für unabh. stetige Variablen muss der Träger ein karthesischs Produkt sein. z.B. für 2 Variabeln in $\R$ ginge $[0,1]\times[0,2]$ (Ein Rechteck) 
 }
 
 % It's important to him to know \E[X]\E[Y] = \E[X\cdot Y] isn't enough for indep., requires \E[\phi(X)]\E[\psi(X)] instead \forall \phi,\psi
 
-\notation \textbf{Bedingte gem. Verteilung}
+\notation \textbf{Bedingte gem. Verteilung}\\
+\subtext{Analog zur Definition von $\P[X\sep Y]$.}
 $$
     f_{X \vert Y} := \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}
 $$
+
+{\footnotesize
+    \textbf{Beispiel}: Bei $f_{X,Y}=e^{-x},\ f_Y(y)=e^{-y}$ erhält man:
+    $$
+        f_{X|Y} \overset{\text{def.}}{=} \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{e^{-x}}{e^{-y}} = e^{-(x-y)}
+    $$
+    Setzt man $z:=x-y$ gilt $f_{X|Y}\sim\text{Exp}(y)$. Gegeben $\{Y=y\}$ gilt:
+    $$
+        X - y \sim \text{Exp}(1) \qquad \text{oder} \qquad X \sep Y=y \sim y + \text{Exp}(1)
+    $$
+}

semester4/ps/ps-rb/parts/06_limits.tex

@@ -50,7 +50,7 @@ $$
 
 \definition \textbf{Standardisierung von $S_n$}
 $$
-    S_n^* := \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{S_n - \E[S_n]}{\sqrt{\V[S_n]}}
+    S_n^* := \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{S_n - \E[S_n]}{\sqrt{\V[S_n]}} \sim \mathcal{N}(0,1)
 $$
 \subtext{Im Skript auch $Z_n$}
 
@@ -58,6 +58,26 @@ $$
 
 \newpage
 
+{\footnotesize
+    \textbf{Beispiel}: Approximation via Standardisierung mit ZGS.
+
+    Sei $X_i,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \P_X$ s.d. $\forall i: \E[X_i]=8, \V[X_i]=1.44$.
+
+    für $S_{100} = \sum_{i=1}^{n}X_i$ approximieren wir $\P\Bigl[ 788 \leq S_100 \leq 824 \Bigr]$\\
+    Es gilt: $\E[S_{100}] = 100\cdot\E[X_i] = 800,\quad \V[S_{100}]=100\cdot\V[X_i] = 144$
+    \begin{align*}
+            &\P\Bigl[ 788 \leq S_100 \leq 824 \Bigr] \\
+        =   &\P\Biggl[\frac{788 - \E[S_{100}]}{\sqrt{\V[S_{100}]}} \leq \frac{S_{100} - \E[S_{100}]}{\sqrt{\V[S_{100}]}} \leq \frac{824 - \E[S_{100}]}{\sqrt{\V[S_{100}]}}\Biggr] \\
+        =   &\P\Bigl[ -1 \leq \frac{S_{100} - \E[S_{100}]}{\sqrt{\V[S_{100}]}} \leq 2 \Bigr] \\
+        =   & \Phi(2) - \Phi(-1)    \\
+        =   & \Phi(2) - (1-\Phi(1)) \\
+        =   & \Phi(2) + \Phi(1) - 1 \\
+        \approx & 0.8185   
+    \end{align*} 
+    Genutztz wurde die Symmetrie von $\Phi$ und $\frac{S_{100} - \E[S_{100}]}{\sqrt{\V[S_{100}]}} \sim \mathcal{N}(0,1)$.\\
+    \subtext{Gemäss ZGS Nur eine approximation, da wir hier $n=100$ nutzen.} 
+}
+
 {\footnotesize
     \textbf{Beispiel}: Zentraler Grenzwertsatz als Teststatistik