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[TI] Multi-Band TM

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Janis Hutz
2025-10-22 16:58:08 +02:00
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semester3/ti/parts/03_turing_machines/01_multi-band-church-thesis.tex
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\newsection
\subsection{Mehrband-Turingmaschinen und Church'sche These}
Die Turingmaschinen sind das Standardmodell der Berechenbarkeitstheorie, aber benötigen einige Modifikationen, um wirklich geeignet zu sein
Die Turingmaschinen sind das Standardmodell der Berechenbarkeitstheorie, aber benötigen einige Modifikationen, um wirklich geeignet zu sein
(da das Von-Neumann Modell physisch unterschiedliche CPU, Eingabemedium und Speicher für Programme und Daten fordert, aber die TM ein gemeinsames Eingabemedium und Speicher hat).
Eine $k$-Ban-Turingmaschine (für $k \in \N_0$) hat folgende Komponenten:
Eine $k$-Band-Turingmaschine (für $k \in \N_0$) hat folgende Komponenten:
\begin{itemize}
\item
\item eine endliche Kontrolle (= Programm)
\item ein endliches Band mit einem Lesekopf
\item $k$ Arbeitsbänder, jedes mit eigenem Lese-/Schreibkopf
\end{itemize}
Zu Beginn ist die MTM in folgender Situation:
\begin{itemize}
\item Das Eingabeband enthält $\cent w \$$, wobei $\cent$ und $\$$ die linke / rechte Seite der Eingabe markieren
\item Der Lesekopf des Eingabebands zeigt auf $\cent$
\item Alle Arbeitsbänder beinhalten $\cent \text{\textvisiblespace\textvisiblespace} \ldots$ und deren Lese-/Schreibköpfe zeigen auf $\cent$
\item Die endliche Kontrolle ist im Anfangszustand $q_0$
\end{itemize}
Alle $k + 1$ Köpfe dürfen sich während der Berechnung in beide Richtungen bewegen (solange das nicht out-of-bounds geht).
Zudem darf der Lesekopf nicht schreiben, also beleibt der Inhalt des Eingabebands gleich.
Gleich wie bei einer TM ist das Arbeitsalphabet der Arbeitsbänder $\Gamma$ und alle Felder der Arbeitsbänder sind von links nach rechts nummeriert, wobei $0$ bei $\cent$ liegt.
Eine Konfiguration einer $k$-Band-TM $M$ ist $(q, w, i, u_1, i_1, u_2, i_2, \ldots, u_k, i_k) \in Q \times \word \times \N \times (\Gamma^* \times \N)^k$,
wobei $q$ der Zustand ist, der Inhalt des Eingabebands ist $\cent w \$$, der Lesekopf zeigt auf das $i$-te Feld,
für $j \in \{ 1, 2, \ldots, k \}$ ist der Inhalt des $j$-ten Bandes $\cent u_k \text{\textvisiblespace} \ldots$ und $i_j \leq |u_j|$ ist die Position des Feldes.
Ein Berechnungsschritt von $M$ kann mit $\delta: Q \times (\Sigma \cup \{ \cent, \$ \}) \times \Gamma^k \rightarrow Q \times \{ L, R, N \} \times (\Gamma \times \{ L, R, N \})^k$
dargestellt werden, wobei die Argumente $(q, a, b_1, \ldots, b_k)$ der aktuelle Zustand $q$, das gelesene Eingabesymbol $a$ und die $k$ Symbole $b_i \in \Gamma$,
auf welchen die Köpfe der Arbeitsbänder stehen.
Die Eingabe $w$ wird von $M$ akzeptiert, falls $M$ den Zustand $\qacc$ erreicht und falls $M$ den Zustand $\qrej$ erreicht oder nicht terminiert, wird die Eingabe verworfen.
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