[NumCS] ++ Interpolations

semester3/numcs/parts/interpolation.tex

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 \newsection
 \section{Interpolation}
+Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
+Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
+
+$$ 
+\begin{bmatrix}
+    x_0 & x_1 & \ldots & x_n \\
+    y_0 & y_1 & \ldots & y_n    
+\end{bmatrix},
+\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
+$$
+
+Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
+
+\subsection{Polynomiale Interpolation}
+
+Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
+
+$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
+Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
+Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$. 
+Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
+
+$$f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)$$
+
+\setcounter{all}{2}
+\inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
+Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
+
+% This could go into a special "maths theory" section
+
+\setcounter{all}{5}
+\inlinetheorem \textit{(Peano)} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
+
+\setcounter{all}{7}
+\inlinedef \textit{(Raum der Polynome)} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$ \inlinedef \textit{(Monom)} $f: x \mapsto x^k$
+
+\inlinetheorem \textit{(Eigensch. von $\mathcal{P}_k$)} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.
+
+\subsection{per Monombasis}
+
+\inlinetheorem \textit{(Eindeutigkeit)} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
+
+Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
+
+$$
+p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad 
+\underbrace{
+    \begin{bmatrix}
+    1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
+    1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
+    \vdots  & \vdots & \ddots & \vdots \\
+    1 & x_n & \cdots & x_n^n \\
+    \end{bmatrix}
+}_\text{Vandermonde Matrix}
+\begin{bmatrix}
+    \alpha_0 \\
+    \alpha_1 \\
+    \vdots   \\
+    \alpha_n
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+    y_0 \\
+    y_1 \\
+    \vdots \\
+    y_n
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
+
+Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
+
+\inlinedef \textit{(Horner Schema)} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
+
+\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus.
+
+\subsection{Newton Basis}