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They came up while solving the utter mess and clusterf of exercises of
this subject and are trying to make future us's live easier

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/03_lagrange-and-barzycentric-formula.tex

@@ -5,6 +5,7 @@
 \newsection
 \subsection{Lagrange- und Baryzentrische Interpolationsformeln}
 % Session: Gemäss TA sehr gut beschrieben im alten Script
+\label{sec:barycentric-interpolation}
 
 \begin{definition}[]{Lagrange Polynome}
 	Für Knoten (auch gennannt Stützstellen) $x_0, x_1, \ldots, x_n \in \R$ definieren wir die Lagrange-Polynome:
@@ -42,8 +43,34 @@ Falls $j = i$ im Produkt, so überspringt $j$ diese Zahl.
 \end{multicols}
 
 Da eine Implementation, welche direkt auf den Lagrange-Polynomen basiert, eine Laufzeit von $\tco{n^3}$ hätte, suchte man nach einer besseren Methode.
-Mit der \bi{baryzentrischen Interpolationsformel} wird zuerst ein Pre-Computing auf Teilen der Lagrange-Polynome durchgeführt, was dann dazu führt, dass die Laufzeit auf $\tco{n^2}$ sinkt ($\tco{n}$ für die Auswertung der Formel und $\tco{n^2}$ für die Berechnung der $\lambda_k$):
+Mit der \bi{baryzentrischen Interpolationsformel} wird zuerst ein Pre-Computing auf Teilen der Lagrange-Polynome durchgeführt, was dann dazu führt, dass die Laufzeit auf $\tco{n^2}$ sinkt ($\tco{n}$ für die Auswertung der Formel und $\tco{n^2}$ für die Berechnung der $\lambda_k$).
+Man berechnet die baryzentrischen Gewichte $\lambda_k$ folgendermassen:
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    \lambda_k = \prod_{j \neq k} \frac{1}{x_k - x_j}
+\end{align*}
+oder das ganze mithilfe von Numpy:
+\begin{code}{python}
+    def barycentric_weights(x: np.ndarray) -> np.ndarray:
+        n = len(x)
+        # Initialize to zeros
+        barweight = np.ones(n)
+        for k in range(n):
+            # Vectorized differences between $x_k$ and all $x$s
+            differences = x[k] - x
 
+            # Remove the $k$-th element (and handle edge cases for $k = 0$ and $k = n - 1$)
+            if k < n - 1 and k > 0:
+                diff_processed = np.concatenate((differences[:k], differences[(k + 1) :]))
+                barweight[k] = 1 / np.prod(diff_processed)
+            elif k == 0:
+                barweight[k] = 1 / np.prod(differences[1:])
+            else:
+                barweight[k] = 1 / np.prod(differences[:k])
+        return barweight
+\end{code}
+
+Mit dem können wir dann ein Polynom mit der baryzentrischen Interpolationsformel interpolieren:
 \setcounter{numberingConfig}{0}
 \begin{formula}[]{Baryzentrische Interpolationsformel}
 	\vspace{-1.5pc}
@@ -60,6 +87,40 @@ Mit anderen $\lambda_k$ eröffnet die baryzentrische Formel einen Weg zur Verall
 
 Eine weitere Anwendung der Formel ist als Ausganspunkt für die Spektralmethode für Differenzialgleichungen.
 
+\begin{code}{python}
+    def interp_barycentric(
+        data_point_x: np.ndarray,
+        data_point_y: np.ndarray,
+        barweight: np.ndarray,
+        x: np.ndarray
+    ):
+        """Compute an Interpolation polynomial p(x) using the barycentric interpolation formula
+
+        Args:
+            data_point_x: The data points' x-coordinate from which to interpolate (Stützstellen)
+            data_point_y: The data points' y-coordinates (Stützwerte)
+            barweight: Barycentric weights
+            x: The argument of the polynomial (the x in p(x))
+
+        Returns:
+            The Interpolation polynomial evaluated at each x
+        """
+        p_x = np.zeros_like(x)
+        n = data_point_x.shape[0]
+
+        for i in range(x.shape[0]):
+            # Separate sums to divide in the end
+            upper_sum = 0
+            lower_sum = 0
+            for k in range(n):
+                frac = barweight[k] / (x[i] - data_point_x[k])
+                upper_sum += frac * data_point_y[k]
+                lower_sum += frac
+            p_x[i] = upper_sum / lower_sum
+
+        return p_x
+\end{code}
+
 
 % ────────────────────────────────────────────────────────────────────
 \newpage

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/04_chebyshev-interpolation.tex

@@ -53,6 +53,8 @@ Das $n$-te Chebyshev-Polynom ist ein Polynom von Grad $n$ und für $x \in [-1, 1
 \fancydef{Chebyshev-Abszissen} Die $(n - 1)$ Chebyshev-Abszissen $x_0, \ldots, x_{n - 2}$ im Intervall $[-1, 1]$ sind die Extrema des Chebyshev-Polynoms $T_n(x)$ und zeitgleich die Nullstellen von $U_{n - 1}(x)$.
 Je nach Kontext nimmt man noch die Grenzen des Intervalls ($1$ und $-1$) hinzu und hat dann $(n + 1)$ Abszissen.
 
+Die Baryzentrischen Gewichte sind dann viel einfacher zu berechnen: $\lambda_k = (-1)^k$ (siehe Bemerkung unterhalb der Baryzentrischen Interpolationsformel, Kapitel \ref{sec:barycentric-interpolation})
+
 \fancyremark{Chebyshev-Abszissen für beliebiges Intervall} Für $I = [a, b]$ sind die Chebyshev-Abszissen:
 \rmvspace
 \begin{align*}