[PS] Notes

semester4/ps/ps-rb/parts/00_prereq.tex

@@ -9,4 +9,6 @@ $$
 \definition \textbf{Binomialkoeffizient}
 $$
     \binom{n}{k} := \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}
-$$
+$$
+
+% Integrationsmethoden, Integraltabelle

semester4/ps/ps-rb/parts/02_variables.tex

@@ -96,7 +96,7 @@ $$
 
 \theorem \textbf{Diskrete Verteilungsfunktion}
 $$
-    F_X(x) = \P[x \leq X] = \sum_{y \leq x} p(y) \qquad y \in W
+    F_X(x) = \P[X \leq x] = \sum_{y \leq x} p(y) \qquad y \in W
 $$
 
 \newpage
@@ -229,7 +229,7 @@ $$
     \end{cases}
 $$
 
-\definition \textbf{Exponentialverteilung} $T \sim \text{exp}(\lambda)$
+\definition \textbf{Exponentialverteilung} $T \sim \text{Exp}(\lambda)$
 $$
     f_T(x) = \begin{cases}
         \lambda e^{-\lambda x}  & x \geq 0 \\
@@ -238,7 +238,12 @@ $$
 $$
 \subtext{$\lambda > 0$}
 
-\lemma \textbf{Eigenschaften von} $\text{exp}$
+\lemma \textbf{Eigenschaften von} $T \sim \text{Exp}(\lambda)$
+\begin{enumerate}
+    \item $\forall t \geq 0:\quad \P[T > t] = e^{-\lambda t}$
+    \item $\forall t,s \geq 0:\quad \P\Bigl[ T > t+s\ \Big|\ T > t \Bigr] = \P[T>s]$ 
+\end{enumerate}
+\subtext{(2) wird \textit{Gedächtnislosigkeit} genannt.}
 
 \definition \textbf{Normalverteilung} $X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)$
 $$

semester4/ps/ps-rb/parts/04_joint-distributions.tex

@@ -11,7 +11,17 @@ $$
 
 \theorem $\displaystyle\sum_{x_1\in W_1,\ldots,x_n\in W_n} p(x_1,\ldots,x_n) = 1$
 
-% Randverteilung, Erwartungswert ...
+\theorem \textbf{Randverteilung}\\
+\smalltext{Die einzelnen Verteilungen $p_X$ lassen sich extrahieren:}\\
+\subtext{$\forall z \in W_i$:}
+$$
+ \P[X_i = z] = \underset{x_1,\ldots,x_{i-1},z,x_{i+1},\ldots,x_n}{\sum} p\Bigl( x_1,\ldots,x_{i-1},z,x_{i+1},\ldots,x_n \Bigr)
+$$
+\subtext{$X_1,\ldots,X_n$ diskret,$\quad$ gem. Vert. $p = \Bigl( p(x_1,\dots,x_n) \Bigr)_{x_1 \in W_1,\ldots,x_n \in W_n}$}
+
+{\footnotesize
+    \remark Nicht umgekehrt: Aus den Randverteilungen lässt sich nichts über die gem. Vert. schliessen.
+}
 
 \newpage
 \subsection{Gemeinsame Stetige Verteilung}
@@ -26,20 +36,29 @@ $$
 \theorem $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(x_1,\ldots,x_n)\ dx_n\ dx_1 = 1$\\
 \subtext{Umgekehrt existiert für jedes solches $f$ ein Raum $(\Omega, \F, \P)$}
 
-% good examples in script
+{\scriptsize
-
+    \textbf{Beispiel:} Finde $c$ s.d. $f_{X,Y}$ eine Dichte ist, wobei
-\theorem \textbf{Randverteilung}\\
+    $
-\smalltext{Die einzelnen Verteilungen $p_X$ lassen sich extrahieren:}\\
+        f_{X,Y}=\begin{cases}
-\subtext{$\forall z \in W_i$:}
+            ce^{-x}     & 0 < x < y \\
-$$
+            0           & \text{sonst}
- \P[X_i = z] = \underset{x_1,\ldots,x_{i-1},z,x_{i+1},\ldots,x_n}{\sum} p\Bigl( x_1,\ldots,x_{i-1},z,x_{i+1},\ldots,x_n \Bigr)
+        \end{cases}
-$$
+    $
-\subtext{$X_1,\ldots,X_n$ diskret,$\quad$ gem. Vert. $p = \Bigl( p(x_1,\dots,x_n) \Bigr)_{x_1 \in W_1,\ldots,x_n \in W_n}$}
+    \begin{align*}
+        \int_0^\infty \int_0^x ce^{-x}\ dy\ dx  &= c\cdot \int_0^\infty xe^{-x}\ dx                                                     \\ 
+                                                &= c\cdot\biggl( \Bigl[ -xe^{-x} \Bigr]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x}\ dx \biggr)     \\
+                                                &= c\cdot\biggl( 0 + \Bigl[ -e^{-x} \Bigr]_0^\infty \biggr)                             \\
+                                                &= c
+    \end{align*}
+    Also gilt wegen dem vorherigen Satz: $c=1$.
+}
 
 {\footnotesize
-    \remark Nicht umgekehrt: Aus den Randverteilungen lässt sich nichts über die gem. Vert. schliessen.
+    \remark Randdichten: Integration über übrige Variablen.
 }
 
+% Bedingte Dichten fehlen noch, siehe HW5, F3
+
 \theorem \textbf{Erwartungswert}\\
 $$
     \E\Bigl[ \phi(X_1,\ldots,X_n) \Bigr] = \int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty\phi(x_1,\ldots,x_n)\cdot f(x_1\cdots x_n)\ dx_n\ldots dx_1