[PS] Finish discrete distributions

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/00_bin.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\newpage
+\subsection{Verteilungen}
+\subsubsection{Bernoulli-Verteilung}
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Ber}(p)$: $\P[\cX = 0] = 1 - p$ und $\P[\cX = 1] = p$
+
+
+\subsubsection{Binomialverteilung}
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Bin}(n, p)$, falls\\
+$\forall k \in \{ 0, \ldots, n \}\; \P[\cX = k] = {n \choose k} p^k (1 - p)^{n - k}$
+
+\shortremark $\sum_{k = 0}^{n} p(k) = \sum_{k = 0}^{n} \P[\cX = k] = (p + 1 - p)^n = 1$
+
+\shorttheorem $X_i \sim \text{Ber}(p_i)$ unab: $(S_n := \sum_{i = 0}^{n} X_i) \sim \text{Ber}(n, p)$
+
+\shortremark $\text{Bin}(1, p)$ ist $\text{Ber}(p)$ verteilt. Für $X, Y \sim \text{Bin}(n_i, p)$ mit $X, Y$ unabhängig dann ist $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$
+

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/01_geom.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\subsubsection{Geometrische Verteilung}
+{\scriptsize Warten auf den ersten Erfolg (in $\8$ Folge von Bernoulli-Experimenten)}
+
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Geom}(p)$ mit $W = \N \backslash \{0\}$ falls\\
+$\forall k \in W \; \P[\cX = k] = (1 - p)^{k - 1} \cdot p$
+
+\shortremark $\P[\cX = 1] = p$, da wir Konvetion $a^0 = 1$ verwenden.
+
+\shortremark $\sum_{k = 0}^{\8} p(k) = p \cdot \sum_{k = 0}^{\8} (1 - p)^{k - 1} = p \cdot \frac{1}{p} = 1$
+
+\shorttheorem $X_i \sim \text{Ber}(p)$ für $i \in \N$.\\
+Dann $( T := \min\{ n \geq 1 \divider X_n = 1 \} )\sim \text{Geom}(p)$
+
+\shortremark $T = \8$ ist möglich, $\P[T = \8] = 0$
+
+\shorttheorem $T \sim \text{Geom}(p)$, dann\\
+$\forall n \geq 0 \; \forall k \geq 1 \; \P[T \geq n + k | T > n] = \P[T \geq k]$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/02_negbin.tex

@@ -0,0 +1,10 @@
+\subsubsection{Negativbinomiale Verteilung}
+{\scriptsize Warten auf den $r$-ten Erfolg (in $\8$ Folge von Bernoulli-Experimenten)}
+
+\shortdefinition $\cX \sim \text{NBin}(r, p)$, falls\\
+$\displaystyle \forall k \in \{r, r + 1, \ldots \} \quad \P[\cX = k] = {k - 1 \choose r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}$
+
+\shorttheorem $\cX_i \sim \text{Ber}(p)$, dann\\
+$T_r := \inf \left\{ n \geq 1\; \big|\; \sum_{l = 1}^{n} \cX_l = r \right\} \sim \text{NBin}(r, p)$
+
+\shortremark $\cX := \sum_{i = 1}^{r} \cX_i \sim \text{NBin}(r, p)$ für $\cX_i \sim \text{Geom}(p)$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/03_hyp-geom.tex

@@ -0,0 +1,5 @@
+\subsubsection{Hypergeometrische Verteilung}
+{\scriptsize $r$ Elemente vom Typ I, $n - r$ El. vom Typ II, $m$ davon gezogen, ohne Zurücklegen}
+
+\shortdefinition $\cX \sim \text{H}(n, r, m)$, falls\\
+$\displaystyle \forall k \in \{ 0, \ldots, \min(m, r) \} \quad \P[\cX = k] = \frac{{r \choose k} {n - r \choose m - k}}{{n \choose m}}$

semester4/ps/ps-jh/parts/02_discrete-continuous-rv/03_distributions/04_poisson.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\subsubsection{Poisson-Verteilung}
+\shortdefinition $\cX \sim \text{Poisson}(\lambda)$ mit $\lambda > 0 \in \R$, falls\\
+$\forall k \in \N \quad \P[\cX = k] = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$
+
+\shorttheorem Für $n \in \N$ Z.V. $\cX_i \sim \text{Bin}\left( n, \frac{\lambda}{n} \right)$ und $\cN \sim \text{Poisson}(\lambda)$:
+$\forall k \in \N \quad \limni \P[\cX_i = k] = \P[\cN = k]$