[NumCS] Finish Chapter 5.5.1

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@@ -12,7 +12,7 @@ Wir möchten unsere Gewichte $b_i$ und Knoten $c_i$ so bestimmen, dass die Quadr
 Wir definieren die Notation $\langle M, g \rangle = \int_{0}^{1} M(t) g(t) \dx t$ (also das Skalarprodukt).
 
 \begin{theorem}[]{Ordnung der Quadraturformel}
-    Die Ordnung ist $s + m$ genau dann, wenn $\langle M, g \rangle = 0$ für alle Polynome $g$ mit $\deg(g) \leq m - 1$ und 
+    Die Ordnung ist $s + m$ genau dann, wenn $\langle M, g \rangle = 0$ für alle Polynome $g$ mit $\deg(g) \leq m - 1$ und
     $M(t) = (t - c_1) \cdot (t - c_2) \cdot \ldots \cdot (t - c_s)$ für $s$. Also steht $M$ senkrecht zu allen $g$.
 \end{theorem}
 
@@ -21,4 +21,87 @@ Wir definieren die Notation $\langle M, g \rangle = \int_{0}^{1} M(t) g(t) \dx t
 
 \fhlc{lime}{Orthogonale Polynome}
 
-Für $I = ]a, b[$ sei $w: I \rightarrow \R$ eine stetige Gewichtsfunktion mit $w(x) > 0 \smallhspace \forall x \in I$
+Für $I = ]a, b[$ sei $w: I \rightarrow \R$ eine stetige Gewichtsfunktion mit $w(x) > 0 \smallhspace \forall x \in I$, so dass für alle $k = 0, 1, 2, \ldots$
+$\int_{a}^{b} |x|^k w(x) \dx x$ existiert.
+
+\begin{theorem}[]{Orthogonale Polynome}
+    Im Raum $V = \{ f: I \rightarrow \R \text{ stetig}, \int_{a}^{b} |f(x)|^2 w(x) \dx x \text{ existiert} \}$ existiert eine eindeutige Folge von Polynomen
+    $p_0, p_1, \ldots$ mit $p_k(x) = x^k + P(x)$ mit $\deg(P(x)) \leq k - 1$ für $k \geq 0$, so dass $p_k \perp \text{span}\{ p_0, p_1, \ldots, p_{k - 1} \}$. Sie können mit der
+    \bi{3-Term-Rekursion} gebaut werden:
+    \begin{align*}
+        p_{k + 1}(x) = (x - \beta_{k + 1}) \cdot p_k(x) - \gamma_k p_{k - 1}(x)
+    \end{align*}
+    mit $p_0(x) = 1$, $p_{- 1}(x) = 0$, $\beta_{k + 1} = \frac{\langle x \cdot p_k, p_k \rangle}{\langle p_k, p_k \rangle}$
+    und $\beta_{k + 1} = \frac{\langle p_k, p_k \rangle}{\langle p_{k - 1}, p_{k - 1} \rangle}$,
+    wobei hier $\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \dx x$
+    das Skalarprodukt ist.
+\end{theorem}
+
+\fancyex{Legendre-Polynome} sind definiert für $w(x) = 1$, $a = -1$ und $b = 1$ (sie sind orthogonal):
+\begin{align*}
+    p_0(x) & = 1                     & p_1(x) & = x                      \\
+    p_2(x) & = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) & p_3(x) & = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)
+\end{align*}
+Die Normierung der Legendre-Polynome ist nicht standardisiert
+
+\innumpy können wir mit
+\texttt{scipy.special.eval\_legendre} und \texttt{scipy.special.legendre} diese Polynome berechnen und mit
+\texttt{scipy.special.roots\_legendre} die Knoten berechnen
+
+\fancyex{Hermite-Polynome} sind definiert für $w(x) = e^{-x^2}$, $a = -\infty$ und $b = \infty$:
+\begin{align*}
+    p_0(x) & = 1        & p_1(x) & = 2x         \\
+    p_2(x) & = 4x^2 - 2 & p_3(x) & = 8x^3 - 12x
+\end{align*}
+
+\stepLabelNumber{all}
+\inlineremark Aus Theorem \ref{all:5-5-3} folgt direkt, dass $c_1, c_2, \ldots, c_s$ die Nullstellen von $p_s$ sind.
+
+\setLabelNumber{all}{11}
+\fancyremark{Knoten und Fehler der Gauss-Quadratur}
+\begin{itemize}
+    \item Gauss-Knoten sind nicht äquidistant.
+    \item Gauss-Knoten sind nicht verschachtelt (was er damit meint ist, dass wir sie nicht mit DnQ verwenden können \textemdash
+          Wir können also nicht für eine Quadratur höherer Ordnung die Knotenpunkte der Gauss-Quadratur tieferer Ordnung verwenden)
+    \item Die Gauss-Quadratur ist offen (da die Endpunkte des Intervalls keine Knoten sind)
+    \item Bei der \bi{Radau-Quadratur} fixiert man ein Ende als Randknoten, und man hat nun Ordnung $2s - 1$. 
+        Die Berechnung ist ansonsten gleich, bis auf den Fakt, dass wir nur noch $(s - 1)$ Knoten haben ($1$ bis und mit $s - 1$).\\
+        Sie können mit \texttt{scipy.special.roots\_jacobi(s - 1, alpha=1, beta=0)} berechnet werden.
+    \item Bei der \bi{Lobatto-Quadratur} fixiert man gleich beide Enden als Randknoten, und man hat Ordnung $2s - 2$ und wir haben die Knoten $c_2, \ldots, c_{s - 1}$
+    \item Die Lombatto- und Radau-Quadratur werden häufig bei der Lösung gewöhnlicher DGL verwendet.
+\end{itemize}
+Der Fehler der Gauss-Quadratur ist:
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    \int_{a}^{b} f(x) \dx x - \sum_{j = 1}^{s} b_j \cdot f(c_j) = \frac{b - a}{(2s)!} f^{(2s)}(z) \text{ mit } z \in [a, b]
+\end{align*}
+
+\drmvspace
+Und eine obere Schranke für den Fehler ist dann
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    \left| \int_{a}^{b} f(x) \dx x - \sum_{k = 1}^{N} G_s(f, x_{k - 1, x_k})\right| \leq c \cdot h^{2s} \max_{z \in [a, b]}|f^{(2s)}(z)|
+\end{align*}
+
+\drmvspace
+wobei $c \in \R$ eine Konstante ist und $h = b - a$ die Grösse des Intervalls ist.
+
+\setLabelNumber{all}{14}
+\fancyremark{Gewichte der Gauss-Legendre-Quadratur} Für die Knoten $c_1, \ldots, c_s$ und den entsprechenden Lagrange-Polynomen $l_1, \ldots, l_s$ 
+mit $\deg(l_i) = s - 1 \ \forall i \in \{ 1, \ldots, s \}$. 
+Die zugehörige Quadraturformel ist exakt für Polynome $2s - 1$-ten Grades. Die Gewichte sind:
+\begin{align*}
+    b_i = \int_{0}^{1} l_i(t)^2 \dx t
+\end{align*}
+
+% Yeah, there is *no way* we would have figured that out... and he even provides a proof for it... yikes...
+\inlinetheorem Die Gewichte der Gauss-Legendre-Quadraturformel sind positiv.
+
+% TODO: Consider adding code
+\begin{tables}{cccc}{Algorithmus & Laufzeit & Genauigkeit Knoten & Genauigkeit Gewichte}
+    GW (1969) & $\tco{s^3}$ / $\tco{s^2}$ & $\tco{1}$ & $\tco{s^2}$ \\
+    Bogaert-Townsend & $\tco{s}$ & $\tco{1}$ & $\tco{1}$ \\
+    CC ($2s$ Knoten) & $\tco{s \log(s)}$ & $\tco{1}$ & $\tco{1}$ \\
+\end{tables}
+Die Gauss-Quadratur ist in der Messtechnik nicht besonders geeignet, da wir die zugrundeliegende Funktion nicht im Vorhinein kennen und die Kosten für die Anpassung der Ordnung
+aufgrund fehlender Verschachtelbarkeit sehr hoch sind (wir müssen alle vorigen Berechnungen komplett neu machen)