[NumCS] DFT-Chebyshev done

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/05_dft-chebyshev.tex

@@ -1,3 +1,4 @@
+\newsection
 \subsection{DFT und Chebyshev-Interpolation}
 Mithilfe der DFT können günstig und einfach die Chebyshev-Koeffizienten berechnet werden.
 Die Idee basiert auf dem Satz 2.4.16, durch welchen schon schnell klar wird, dass es eine Verbindung zwischen den Fourier-Koeffizienten und Chebyshev-Koeffizienten gibt.
@@ -12,7 +13,7 @@ können wir folgendes mit der Interpolationsbedingung $f(t_k) = p(t_k)$ tun:
     f(t_k) = p(t_k) \Longleftrightarrow g\left( \frac{2k + 1}{4(n + 1)} \right) = p\left( \frac{2k + 1}{4(n + 1)} \right)
 \end{align*}
 Wir wenden nun die Translation $s^* = s + \frac{1}{4n + 1}$ an, die Hilfsfunktionen sind dann $g*(s) = g(s^*)$ und $q^*(s) = q(s^*)$
-und man kann zeigen (Seite 101 im Skript), dass $q^*$ das trigonometrische Interpolationspolynom von $g^*$ ist,
+und man kann zeigen (Seite 100 im Skript), dass $q^*$ das trigonometrische Interpolationspolynom von $g^*$ ist,
 also kann man eine Chebyshev-Interpolation durch eine DFT durchführen.
 Folglich überträgt sich auch die Fehlerabschätzung. Die Interpolationsbedingungen sind folgendermassen definiert:
 \begin{align*}
@@ -23,4 +24,30 @@ Folglich überträgt sich auch die Fehlerabschätzung. Die Interpolationsbedingu
     \end{cases}
 \end{align*}
 
-Um das ganze zu implementieren ist eine andere Darstellung nützlich.
+Um das ganze zu implementieren ist eine andere Darstellung nützlich:
+\begin{align*}
+    \cos(2\pi \xi_k) \text{ mit } \xi_k = \frac{2k + 1}{4(n + 1)}
+\end{align*}
+Durch Umformungen (Seite 101 im Skript) erhalten wir:
+\begin{align*}
+    z_l = \sum_{-n}^{n} \zeta_j \exp\left( 2\pi ij \tilde{\xi}_l \right) \text{ mit } \tilde{\xi}_l = \frac{l}{2n + 2} \text{ für } 0, 1, \ldots, 2n + 1\\
+    \zeta_j = c_j \exp\left( \frac{2 \pi ij}{4(n + 1)} \right) \text{ für } j = -n, \ldots, -1, 0, 1, \ldots, n
+\end{align*}
+Und mit weitern Umformungen erhalten wir
+\begin{align*}
+    F^{-1}_{2n + 2} \left[ \exp\left( \frac{\pi inl}{n + 1} \right) z_l \right] = [\zeta_{k -n}]
+\end{align*}
+Auf Seite 102 im Skript findet sich auch eine effiziente Implementation dessen.
+
+\stepcounter{all}
+\inlineremark Die Formel in Satz 2.4.16 (und in der eben erwähnten Implementierung) sind nichts anderes als eine Version der DCT (Discrete Cosine Transform).
+Dies ist eine günstigere, aber beschränktere Variante der DFT, mit der nur reellwertige, gerade Funktionen interpoliert werden können.
+
+\fhlc{Cyan}{In NumPy} benutzen wir \texttt{scipy.fft.dct}. Dazu müssen die Mesungen in den Punkten $x_j = \cos\left( (j + 0.5) \cdot \frac{\pi}{N} \right)$
+
+\inlineremark Die Chebyshev-Koeffizienten $c_j$ können folgendermassen berechnet werden:
+\rmvspace
+\begin{align*}
+    c_j = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(\cos(\varphi)) \cos(j \varphi) \dx \varphi
+\end{align*}
+Eine weitere effiziente Interpolation findet sich auf Seiten 104 - 105 im Skript

semester3/ti/ti-summary.tex

@@ -24,10 +24,12 @@
 \vspace{4cm}
 \begin{center}
     \begin{Large}
-        ``\textit{A funny quote from the lecture still needed}``
+        ``\textit{Wenn Sie die Turing-Maschine als Touring-Maschine in der Prüfung schreiben, dann macht mich das sehr traurig. Ich seh das jeweils. Teilweise sind das sehr elaborierte Trolle, manchmal Leute die nie in die Vorlesungen kommen} (2025-10-14T08:51Z+02:00``)
+
+        ``\textit{Sie können also alle C Programme in Kanonischer Ordnung aufzählen. Sollten Sie dies tun. Wahrscheinlich nicht. Was aber zählt ist, sie \textbf{können} es tun}''
     \end{Large}
 
-    \hspace{3cm} - A professor in TI, 2025
+    \hspace{3cm} - Prof. Dr. Dennis Komm, 2025
 \end{center}
 
 \vspace{3cm}