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[NumCS] Restructure
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@@ -62,15 +62,28 @@
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% ╭────────────────────────────────────────────────╮
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% │ Main content │
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% ╰────────────────────────────────────────────────╯
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% ── Introduction ────────────────────────────────────────────────────
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\newsection
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\section{Einführung}
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\input{parts/introduction/rounding-errors.tex}
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\input{parts/introduction/time-complexity.tex}
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\input{parts/introduction/matrix-multiplication.tex}
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\input{parts/00_introduction/00_rounding-errors.tex}
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\input{parts/00_introduction/01_time-complexity.tex}
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\input{parts/00_introduction/02_matrix-multiplication.tex}
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% ── polynomial interpolation ────────────────────────────────────────
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\newsection
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\section{Polynomiale Interpolation}
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\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/00_intro.tex}
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\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/01_monome.tex}
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\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/02_newton-basis.tex}
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\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/03_barzycentric-formula.tex}
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\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/04_chebychev-interpolation.tex}
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\input{parts/interpolation.tex}
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\input{parts/fourier.tex}
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||||
% ── trigonometric interpolation ─────────────────────────────────────
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\newsection
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\section{Trigonometrische Interpolation}
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\input{parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_intro.tex}
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\end{document}
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@@ -0,0 +1,37 @@
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Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
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Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
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\begin{align*}
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\begin{bmatrix}
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||||
x_0 & x_1 & \ldots & x_n \\
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y_0 & y_1 & \ldots & y_n
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||||
\end{bmatrix},
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||||
\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
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||||
\end{align*}
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Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
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Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
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||||
$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
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||||
Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
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||||
Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$.
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||||
Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
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\begin{align*}
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||||
f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)
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||||
\end{align*}
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\setcounter{all}{2}
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||||
\inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
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||||
Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
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% FIXME: This could go into a special "maths theory" section -> GOOD
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\setcounter{all}{5}
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\fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
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\setcounter{all}{7}
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% FIXME: \inlinedef \textit{(Monom)} = \fancydef{Monom} (exactly the definition of fancy* macros)
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\fancydef{Raum der Polynome} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$
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\inlinedef \textit{(Monom)} $f: x \mapsto x^k$
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\fancytheorem{Eigenschaft von $\mathcal{P}_k$} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.
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@@ -0,0 +1,39 @@
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\subsection{Monombasis}
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||||
\fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
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||||
Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
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% FIXME: It'd probably be better to use align* environment in general, it's much more flexible
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% FIXME: Having a new line before $$ (or align* environment for that matter) makes the space between text and math env larger!
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$$
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||||
p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad
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||||
\underbrace{
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
|
||||
1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
1 & x_n & \cdots & x_n^n \\
|
||||
\end{bmatrix}
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||||
}_\text{Vandermonde Matrix}
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||||
\begin{bmatrix}
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||||
\alpha_0 \\
|
||||
\alpha_1 \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
\alpha_n
|
||||
\end{bmatrix}
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||||
=
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||||
\begin{bmatrix}
|
||||
y_0 \\
|
||||
y_1 \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
y_n
|
||||
\end{bmatrix}
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||||
$$
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||||
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||||
Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
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||||
Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
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\fancydef{Horner Schema} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
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||||
\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)
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@@ -0,0 +1,2 @@
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||||
\subsection{Newton Basis}
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||||
Session: Herleitung unwichtig, konzentrieren auf Funktion/Eigenschaften von Newton/Lagrange.
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@@ -0,0 +1,2 @@
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\subsection{Baryzentrische Formel}
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Session: Gemäss TA sehr gut beschrieben im alten Script
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@@ -0,0 +1,8 @@
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\subsection{Chebychev Interpolation}
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||||
Session: Chebyshev Pol. : Abzisse = Extrema, Knoten = Nullstellen
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Lecture: Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft: Siehe Lecture notes (handgeschr.) für Veranschaulichung. \\
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$\rightarrow$ Orth. liefert die Koeff. ohne Rechenaufwand.
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||||
Lecture: Clenshaw-Alg. relativ zentral (Taschenrechner nutzen diesen intern)
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@@ -1,6 +1,3 @@
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\newsection
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\section{Trigonometrische Interpolation}
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||||
Lecture: Wir besitzen nicht das komplette Vorwissen in der Analysis für dieses Kapitel, d.h. wird totales Verständnis nicht
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||||
Lecture: Intuitiv wird Fourier-Trans. zur Kompression genutzt, z.b. jpg format.
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||||
Lecture: Intuitiv wird Fourier-Trans. zur Kompression genutzt, z.b. jpg format.
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@@ -1,91 +0,0 @@
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\newsection
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||||
\section{Polynomiale Interpolation}
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||||
Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
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||||
Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
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$$
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||||
\begin{bmatrix}
|
||||
x_0 & x_1 & \ldots & x_n \\
|
||||
y_0 & y_1 & \ldots & y_n
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
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||||
$$
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||||
|
||||
Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
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Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
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||||
$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
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Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
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Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$.
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Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
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$$f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)$$
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\setcounter{all}{2}
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\inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
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Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
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% This could go into a special "maths theory" section
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\setcounter{all}{5}
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\fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
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\setcounter{all}{7}
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\fancydef{Raum der Polynome} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$ \inlinedef \textit{(Monom)} $f: x \mapsto x^k$
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\fancytheorem{Eigensch. von $\mathcal{P}_k$} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.
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\subsection{Monombasis}
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\fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
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||||
Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
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||||
$$
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||||
p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad
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\underbrace{
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||||
\begin{bmatrix}
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||||
1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
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||||
1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
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||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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||||
1 & x_n & \cdots & x_n^n \\
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||||
\end{bmatrix}
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}_\text{Vandermonde Matrix}
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||||
\begin{bmatrix}
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||||
\alpha_0 \\
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||||
\alpha_1 \\
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||||
\vdots \\
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||||
\alpha_n
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||||
\end{bmatrix}
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=
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\begin{bmatrix}
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||||
y_0 \\
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||||
y_1 \\
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||||
\vdots \\
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||||
y_n
|
||||
\end{bmatrix}
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||||
$$
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Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
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Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
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\fancydef{Horner Schema} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
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\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)
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\subsection{Newton Basis}
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Session: Herleitung unwichtig, konzentrieren auf Funktion/Eigenschaften von Newton/Lagrange.
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\subsection{Baryzentrische Formel}
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Session: Gemäss TA sehr gut beschrieben im alten Script
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\subsection{Chebychev Interpolation}
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Session: Chebyshev Pol. : Abzisse = Extrema, Knoten = Nullstellen
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Lecture: Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft: Siehe Lecture notes (handgeschr.) für Veranschaulichung. \\
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$\rightarrow$ Orth. liefert die Koeff. ohne Rechenaufwand.
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Lecture: Clenshaw-Alg. relativ zentral (Taschenrechner nutzen diesen intern)
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