[NumCS] Restructure

semester3/numcs/numcs-summary.tex

@@ -62,15 +62,28 @@
 %          ╭────────────────────────────────────────────────╮
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+
+% ── Introduction ────────────────────────────────────────────────────
 \newsection
 \section{Einführung}
-\input{parts/introduction/rounding-errors.tex}
+\input{parts/00_introduction/00_rounding-errors.tex}
-\input{parts/introduction/time-complexity.tex}
+\input{parts/00_introduction/01_time-complexity.tex}
-\input{parts/introduction/matrix-multiplication.tex}
+\input{parts/00_introduction/02_matrix-multiplication.tex}
+
+% ── polynomial interpolation ────────────────────────────────────────
+\newsection
+\section{Polynomiale Interpolation}
+\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/00_intro.tex}
+\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/01_monome.tex}
+\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/02_newton-basis.tex}
+\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/03_barzycentric-formula.tex}
+\input{parts/01_interpolation/00_polynomial/04_chebychev-interpolation.tex}
 
 
-\input{parts/interpolation.tex}
+% ── trigonometric interpolation ─────────────────────────────────────
-\input{parts/fourier.tex}
+\newsection
+\section{Trigonometrische Interpolation}
+\input{parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_intro.tex}
 
 
 \end{document}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/00_intro.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
+Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
+\begin{align*}
+	\begin{bmatrix}
+		x_0 & x_1 & \ldots & x_n \\
+		y_0 & y_1 & \ldots & y_n
+	\end{bmatrix},
+	\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
+\end{align*}
+
+Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
+
+Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
+
+$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
+Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
+Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$.
+Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
+\begin{align*}
+	f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)
+\end{align*}
+
+\setcounter{all}{2}
+\inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
+Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
+
+% FIXME: This could go into a special "maths theory" section -> GOOD
+
+\setcounter{all}{5}
+\fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
+
+\setcounter{all}{7}
+% FIXME: \inlinedef \textit{(Monom)} = \fancydef{Monom} (exactly the definition of fancy* macros)
+\fancydef{Raum der Polynome} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$
+\inlinedef \textit{(Monom)} $f: x \mapsto x^k$
+
+\fancytheorem{Eigenschaft von $\mathcal{P}_k$} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/01_monome.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\subsection{Monombasis}
+
+\fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
+
+Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
+% FIXME: It'd probably be better to use align* environment in general, it's much more flexible
+% FIXME: Having a new line before $$ (or align* environment for that matter) makes the space between text and math env larger!
+$$
+	p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad
+	\underbrace{
+		\begin{bmatrix}
+			1      & x_0    & \cdots & x_0^n  \\
+			1      & x_1    & \cdots & x_1^n  \\
+			\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+			1      & x_n    & \cdots & x_n^n  \\
+		\end{bmatrix}
+	}_\text{Vandermonde Matrix}
+	\begin{bmatrix}
+		\alpha_0 \\
+		\alpha_1 \\
+		\vdots   \\
+		\alpha_n
+	\end{bmatrix}
+	=
+	\begin{bmatrix}
+		y_0    \\
+		y_1    \\
+		\vdots \\
+		y_n
+	\end{bmatrix}
+$$
+
+Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
+
+Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
+
+\fancydef{Horner Schema} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
+
+\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/02_newton-basis.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\subsection{Newton Basis}
+Session: Herleitung unwichtig, konzentrieren auf Funktion/Eigenschaften von Newton/Lagrange.

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/03_barzycentric-formula.tex

@@ -0,0 +1,2 @@
+\subsection{Baryzentrische Formel}
+Session: Gemäss TA sehr gut beschrieben im alten Script

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/04_chebychev-interpolation.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\subsection{Chebychev Interpolation}
+
+Session: Chebyshev Pol. : Abzisse = Extrema, Knoten = Nullstellen
+
+Lecture: Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft: Siehe Lecture notes (handgeschr.) für Veranschaulichung. \\
+$\rightarrow$ Orth. liefert die Koeff. ohne Rechenaufwand.
+
+Lecture: Clenshaw-Alg. relativ zentral (Taschenrechner nutzen diesen intern)

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/00_intro.tex

@@ -1,6 +1,3 @@
-\newsection
-\section{Trigonometrische Interpolation}
-
 Lecture: Wir besitzen nicht das komplette Vorwissen in der Analysis für dieses Kapitel, d.h. wird totales Verständnis nicht 
 
-Lecture: Intuitiv wird Fourier-Trans. zur Kompression genutzt, z.b. jpg format.
+Lecture: Intuitiv wird Fourier-Trans. zur Kompression genutzt, z.b. jpg format.

semester3/numcs/parts/interpolation.tex

@@ -1,91 +0,0 @@
-\newsection
-\section{Polynomiale Interpolation}
-Bei der Interpolation versuchen wir eine Funktion $\tilde{f}$ durch eine Menge an Datenpunkten einer Funktion $f$ zu finden.\\
-Die $x_i$ heissen Stützstellen/Knoten, für welche $\tilde{f}(x_i) = y_i$ gelten soll. (Interpolationsbedingung)
-
-$$ 
-\begin{bmatrix}
-    x_0 & x_1 & \ldots & x_n \\
-    y_0 & y_1 & \ldots & y_n    
-\end{bmatrix},
-\quad x_i, y_i \in \mathbb{R}
-$$
-
-Normalerweise stellt $f$ eine echte Messung dar, d.h. macht es Sinn anzunehmen dass $f$ glatt ist.
-
-Die informelle Problemstellung oben lässt sich durch Vektorräume formalisieren:
-
-$f \in \mathcal{V}$, wobei $\mathcal{V}$ ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{V}) = \infty$ ist. \\
-Wir suchen d.h. $\tilde{f}$ in einem Unterraum $\mathcal{V}_n$ mit endlicher $\dim(\mathcal{V}_n) = n$.
-Sei $B_n = \{b_1,\ldots,b_n\}$ eine Basis für $\mathcal{V}_n$. 
-Dann lässt sich der Bezug zwischen $f$ und $\tilde{f} = f_n(x)$ so ausdrücken:
-
-$$f(x) \approx f_n(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j b_j(x)$$
-
-\setcounter{all}{2}
-\inlineremark Unterräume $\mathcal{V}_n$ existieren nicht nur für Polynome, wir beschränken uns aber auf $b_j(x) = x^{i-1}$.
-Andere Möglichkeiten: $b_j = \cos((j-1)\cos^-1(x))$ \textit{(Chebyshev)} oder $b_j = e^{i2\pi j x}$ \textit{(Trigonometrisch)}
-
-% This could go into a special "maths theory" section
-
-\setcounter{all}{5}
-\fancytheorem{Peano} $f$ stetig $\implies \exists p(x)$ welches $f$ in $||\cdot||_\infty$ beliebig gut approximiert.
-
-\setcounter{all}{7}
-\fancydef{Raum der Polynome} $\mathcal{P}_k := \{ x \mapsto \sum_{j = 0}^{k} \alpha_j x^j \}$ \inlinedef \textit{(Monom)} $f: x \mapsto x^k$
-
-\fancytheorem{Eigensch. von $\mathcal{P}_k$} $\mathcal{P}_k$ ist ein Vektorraum mit $\dim(\mathcal{P}_k) = k+1$.
-
-\subsection{Monombasis}
-
-\fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
-
-Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
-
-$$
-p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad 
-\underbrace{
-    \begin{bmatrix}
-    1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
-    1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
-    \vdots  & \vdots & \ddots & \vdots \\
-    1 & x_n & \cdots & x_n^n \\
-    \end{bmatrix}
-}_\text{Vandermonde Matrix}
-\begin{bmatrix}
-    \alpha_0 \\
-    \alpha_1 \\
-    \vdots   \\
-    \alpha_n
-\end{bmatrix}
-=
-\begin{bmatrix}
-    y_0 \\
-    y_1 \\
-    \vdots \\
-    y_n
-\end{bmatrix}
-$$
-
-Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
-
-Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
-
-\fancydef{Horner Schema} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
-
-\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)
-
-\subsection{Newton Basis}
-Session: Herleitung unwichtig, konzentrieren auf Funktion/Eigenschaften von Newton/Lagrange.
-
-\subsection{Baryzentrische Formel}
-Session: Gemäss TA sehr gut beschrieben im alten Script
-
-\subsection{Chebychev Interpolation}
-
-Session: Chebyshev Pol. : Abzisse = Extrema, Knoten = Nullstellen
-
-Lecture: Orthogonalität ist eine wichtige Eigenschaft: Siehe Lecture notes (handgeschr.) für Veranschaulichung. \\
-$\rightarrow$ Orth. liefert die Koeff. ohne Rechenaufwand.
-
-Lecture: Clenshaw-Alg. relativ zentral (Taschenrechner nutzen diesen intern)