[NumCS] Restructure

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/01_monome.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\subsection{Monombasis}
+
+\fancytheorem{Eindeutigkeit} $p(x) \in \mathcal(P)_k$ ist durch $k+1$ Punkte $y_i = p(x_i)$ eindeutig bestimmt.
+
+Dieser Satz kann direkt angewendet werden zur Interpolation, in dem man $p(x)$ als Gleichungssystem schreibt.
+% FIXME: It'd probably be better to use align* environment in general, it's much more flexible
+% FIXME: Having a new line before $$ (or align* environment for that matter) makes the space between text and math env larger!
+$$
+	p_n(x) = \alpha_n x^n + \cdots + \alpha_0 x^0 \quad \iff \quad
+	\underbrace{
+		\begin{bmatrix}
+			1      & x_0    & \cdots & x_0^n  \\
+			1      & x_1    & \cdots & x_1^n  \\
+			\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+			1      & x_n    & \cdots & x_n^n  \\
+		\end{bmatrix}
+	}_\text{Vandermonde Matrix}
+	\begin{bmatrix}
+		\alpha_0 \\
+		\alpha_1 \\
+		\vdots   \\
+		\alpha_n
+	\end{bmatrix}
+	=
+	\begin{bmatrix}
+		y_0    \\
+		y_1    \\
+		\vdots \\
+		y_n
+	\end{bmatrix}
+$$
+
+Um $\alpha_i$ zu finden ist die Vandermonde Matrix unbrauchbar, da die Matrix schlecht konditioniert ist.
+
+Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder effizienter:
+
+\fancydef{Horner Schema} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
+
+\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)