[NumCS] Restructure

semester3/numcs/parts/00_introduction/00_rounding-errors.tex

@@ -0,0 +1,64 @@
+\subsection{Rundungsfehler}
+
+\begin{definition}[]{Absoluter \& Relativer Fehler}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{itemize}
+            \item \bi{Absoluter Fehler}: $||\tilde{x} - x||$
+            \item \bi{Relativer Fehler}: $\displaystyle \frac{||\tilde{x} - x||}{||x||}$ für $||x|| \neq 0$
+        \end{itemize}
+    \end{multicols}
+    wobei $\tilde{x}$ eine Approximation an $x \in \R$ ist
+\end{definition}
+
+Rundungsfehler entstehen durch die (verhältnismässig) geringe Präzision die man mit der Darstellung von Zahlen auf Computern erreichen kann.
+Zusätzlich kommt hinzu, dass durch Unterläufe (in diesem Kurs ist dies eine Zahl die zwischen $0$ und der kleinsten darstellbaren, positiven Zahl liegt) Präzision verloren gehen kann.
+
+Überläufe hingegen sind konventionell definiert, also eine Zahl, die zu gross ist und nicht mehr dargestellt werden kann.
+
+
+\setcounter{all}{9}
+\begin{remark}[]{Auslöschung}
+    Bei der Subtraktion von zwei ähnlich grossen Zahlen kann es zu einer Addition der Fehler der beiden Zahlen kommen, was dann den relativen Fehler um einen sehr grossen Faktor vergrössert.
+    Die Subtraktion selbst hat einen vernachlässigbaren Fehler
+\end{remark}
+
+\setcounter{all}{18}
+\fancyex{Ableitung mit imaginärem Schritt} Als Referenz in Graphen wird hier oftmals die Implementation des Differenzialquotienten verwendet.
+
+Der Trick hier ist, dass wir mit Komplexen Zahlen in der Taylor-Approximation einer glatten Funktion in $x_0$ einen rein imaginären Schritt durchführen können:
+\begin{align*}
+    f(x_0 + ih) = f(x_0) + f'(x_0)ih - \frac{1}{2} f''(x_0)h^2 - iC \cdot h^3 \text{ für } h \in \R \text{ und } h \rightarrow 0
+\end{align*}
+Da $f(x_0)$ und $f''(x_0)h^2$ reell sind, verschwinden die Terme, wenn wir nur den Imaginärteil des Ausdruckes weiterverwenden. Nach weiteren Vereinfachungen und Umwandlungen erhalten wir
+\begin{align*}
+    f'(x_0) \approx \frac{\text{Im}(f(x_0 + ih))}{h}
+\end{align*}
+
+Falls jedoch hier die Auswertung von $\text{Im}(f(x_0 + ih))$ nicht exakt ist, so kann der Fehler beträchtlich sein.
+
+
+\setcounter{all}{20}
+\fancyex{Konvergenzbeschleunigung nach Richardson}
+\begin{align*}
+    y f'(x) & = y d\left(\frac{h}{2}\right) + \frac{1}{6} f'''(x) h^2 + \frac{1}{480}f^{(s)} h^4 + \ldots - f'(x) \\
+            & = -d(h) - \frac{1}{6}f'''(x) h^2 + \frac{1}{120} f^{(s)}(x) h^n \Leftrightarrow 3 f'(x)             \\
+            & = 4 d\left(\frac{h}{2}\right)  d(h) + \tco{h^4} \Leftrightarrow
+\end{align*}
+% TODO: Need to finish with notes from the exercise sessions
+
+
+\fhlc{Cyan}{Schema}
+
+\begin{align*}
+    d(h) = \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}
+\end{align*}
+
+wobei im Schema dann
+\begin{align*}
+    R_{l, 0} = d\left( \frac{h}{2^l} \right)
+\end{align*}
+und
+\begin{align*}
+    R_{l, k} = \frac{4^k \cdot R_{l, k - 1} - R_{l - 1, k - 1}}{4^k - 1}
+\end{align*}
+und $f'(x) = R_{l, k} + C \cdot \left( \frac{h}{2^l} \right)^{2k + 2}$