[NumCS] Update/Add code examples

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/03_interpolation/01_zero-padding.tex

@@ -8,21 +8,49 @@ Ein trigonometrisches Polynom $p_{N - 1}(t)$ kann effizient an den äquidistante
 Dazu muss das Polynom $p_{N - 1} \in \mathcal{T}_N \subseteq \mathcal{T}_M$ in der trigonometrischen Basis $\mathcal{T}_M$ neugeschrieben werden,
 in dem man \bi{Zero-Padding} verwendet, also Nullen im Koeffizientenvektor an den Stellen höheren Frequenzen einfügt.
 
-\TODO Insert cleaned up code from Page 95 (part of exercises)
-
-Die folgende Funktion wird im Script \texttt{evaliptrig} genannt.
+\innumpy Dieses Verfahren lässt sich in Python leicht via \verb|slices| umsetzen:
 \rmvspace
 \begin{code}{python}
-    def evaluate_trigonometric_interpolation_polynomial(y: np.ndarray, N: int):
-        n = len(y)
-        if (n % 2) == 0:
-            c = np.fft.ifft(y)  # Fourier coefficients
-            a = np.zeros(N, dtype=complex)
+def zero_pad(v: np.ndarray, N: int):
+    """Apply zero-padding to size N to a vector v """
+    n = v.size
+    if (N < n): raise ValueError(f"ERROR: Zeropadding for N smaller than vector length: {N} < {n}")
+    
+    u = np.zeros(N, dtype=complex)
+    u[:n//2] = v[:n//2]
+    u[N-n//2:] = v[n//2:]
+    return u
 
-            # Zero padding
-            a[: n // 2] = c[: n // 2]
-            a[N - n // 2 :] = c[n // 2 :]
-            return np.fft.fft(a)
-        else:
-            raise ValueError("odd length")
+
+def eval_trig_poly(y: np.ndarray, N: int):
+    """ Evaluate trig poly generated using y on N points """
+    n = y.size
+    if (n % 2 != 0): raise ValueError(f"ERROR: y must be of even length, len(y)={n}")
+    
+    coeffs = np.fft.fft(y) * 1/n
+    coeffs = zero_pad(coeffs, N)
+    return np.fft.ifft(coeffs) * N
 \end{code}
+
+\subsubsection{Ableitungen mit Zero-Padding}
+Mit dem Trick aus Bemerkung 3.2.13 lassen sich auch direkt die Ableitungen berechnen.
+
+\innumpy Geht dies direkt durch leichte Modifikation der obigen Funktionen:
+
+\begin{code}{python}
+def eval_trig_poly_d1(y: np.ndarray, N: int):
+    """ Evaluates first der. of trig poly generated using y on N points """
+    n = y.size
+    if (n % 2 != 0): raise ValueError(f"ERROR: y must be of even length, len(y)={n}")
+    
+    coeffs = np.fft.fft(y) * 1/n
+    
+    for i in range(0, n//2):
+        coeffs[i] *= (2.0j * np.pi * i)
+    for i in range(n//2, n):
+        coeffs[i] *= (2.0j * np.pi * (i - n))
+    
+    coeffs = zero_pad(coeffs, N)
+    return np.fft.ifft(coeffs) * N
+\end{code}
+