[TI] More on kolmogorov-complexity

semester3/ti/parts/languages-problems/kolmogorov-complexity.tex

@@ -12,7 +12,7 @@ Hier kommt die Kolmogorov-Komplexit zum Zuge: Sie bietet eine breit Gültige Def
 
 
 \begin{definition}[]{Kolmogorov-Komplexität}
-    Für jedes Wort $x \in \wordbool$ ist die \bi{Kolmogorov-Komplexität $K(x)$ des Wortes $x$} das Minimum der binären Längen der Pascal-Programme, die $x$ generieren.
+	Für jedes Wort $x \in \wordbool$ ist die \bi{Kolmogorov-Komplexität $K(x)$ des Wortes $x$} das Minimum der binären Längen der Pascal-Programme, die $x$ generieren.
 \end{definition}
 
 Hierbei ist mit der binären Länge die Anzahl Bits gemeint, die beim Übersetzen des Programms in einen vordefinierten Maschinencode entsteht.
@@ -21,25 +21,35 @@ Ein Pascal-Programm in diesem Kurs ist zudem nicht zwingend ein Programm in der
 
 
 \begin{lemma}[]{Kolmogorov-Komplexität}
-    Für jedes Wort $x \in \wordbool$ existiert eine Konstante $d$ so dass $K(x) \leq |x| + d$
+	Für jedes Wort $x \in \wordbool$ existiert eine Konstante $d$ so dass $K(x) \leq |x| + d$
 \end{lemma}
 \inlineproof Für jedes $x \in \wordbool$ kann folgendes Programm $A_x$ verwendet werden:
 
-\begin{minted}{pascal}
-A_x: begin
+\begin{code}{pascal}
+$A_x$: begin
         write(x);
      end
-\end{minted}
+\end{code}
 Alle Teile, ausser $x$ sind dabei von konstanter Länge, also ist die Länge der Bit-repräsentation des Programms ausschliesslich von der binären Länge des Wortes $x$ abhängig.
 
 \proven
 
 
-Für regelmässige Wörter gibt es natürlich Programme, bei denen das Wort nicht als komplette Variable vorkommt. 
+Für regelmässige Wörter gibt es natürlich Programme, bei denen das Wort nicht als komplette Variable vorkommt.
 Deshalb haben diese Wörter auch (meist) eine kleinere Kolmogorov-Komplexität.
 
 
 \fancydef{$K(n)$ für $n \in \N$} Die \bi{Kolmogorov-Komplexität einer natürlichen Zahl $n$} ist $K(n) = K(\text{Bin}(n))$,
 wobei $\text{Bin}(x) = \ceil{\log_2(x + 1)}$ % TODO: Verify correctness here
 
-\inlinelemma Für jede Zahl $n \in \N - \{ 0 \}$ existiert ein Wort $w_n \in (\alphabets{bool})^n$
+\inlinelemma Für jede Zahl $n \in \N - \{ 0 \}$ existiert ein Wort $w_n \in (\alphabets{bool})^n$ so dass $K(w_n) \geq |w_n| = n$, oder in Worten, es existiert für jedes $n$ ein nicht komprimierbares Wort.
+
+Eine wichtige Eigenschaft der Kolmogorov-Komplexität ist, dass sie nicht wirklich von der gewählten Programmiersprache abhängt.
+Man kann also beliebig auch \texttt{C++}, \texttt{Swift}, \texttt{Python}, \texttt{Java} oder welche auch immer, ohne dass die Kolmogorov-Komplexität um mehr als eine Konstante wächst (auch wenn diese bei \texttt{Java} sehr gross ist):
+
+\begin{theorem}[]{Unterschiedliche Programmiersprachen}
+	Für jede Programmiersprachen $A$ und $B$ existiert eine Konstante $c_{A,B}$, die nur von $A$ und $B$ abhängig ist, so dass für alle $x \in \wordbool$ gilt:
+	\begin{align*}
+		|K_A(x) - K_B(x)| \leq c_{A, B}
+	\end{align*}
+\end{theorem}

semester3/ti/ti-summary.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass{article}
 
-\newcommand{\dir}{~/projects/latex}
+\newcommand{\dir}{../../latex}
 \input{\dir/include.tex}
 \load{full}
 \setLang{de}