[NumCS] Add new innumpy command, start splines section

semester3/numcs/parts/01_interpolation/02_piece-wise/00_intro.tex

@@ -1,4 +1,5 @@
 % Lecture: \chi here are used as RELU function!
+\subsection{Stückweise Lineare Interpolation}
 Globale Interpolation (also Interpolation auf dem ganzen Intervall $]-\infty, \infty[$) funktioniert nur dann gut, wenn:
 \rmvspace
 \begin{enumerate}[label=(\alph*), noitemsep]

semester3/numcs/parts/01_interpolation/02_piece-wise/01_hermite-interpolation.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ und deren Ableitung $\psi'(t) = t(3t - 2)$. Mit demselben Variablenwechsel müss
 \end{align*}
 Die Interpolationsfunktion ist dann einfach die Summe $s_j(x) = p_j(x) + q_j(x) \mediumhspace \text{für } x \in [x_{j - 1}, x_j]$
 
-\fhlc{Cyan}{In Numpy} verwendet man \texttt{scipy.interpolate.Akima1DInterpolator} oder \texttt{PchipInterpolator}, welcher ``formerhaltender'' ist,
+\innumpy verwendet man \texttt{scipy.interpolate.Akima1DInterpolator} oder \texttt{PchipInterpolator}, welcher ``formerhaltender'' ist,
 also wenn eine Funktion lokal monoton ist, so ist der Interpolant dort auch monoton.
 Bei anderen Interpolationsmethoden ist dies nicht garantiert (so auch nicht beim \texttt{Akima1DInterpolator})
 

semester3/numcs/parts/01_interpolation/02_piece-wise/02_splines.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\newsectionNoPB
+\subsection{Splines}
+\begin{definition}[]{Raum der Splines}
+    Sei $[a, b] \subseteq \R$ ein Intervall, sei $\mathcal{G} = \{ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_N = b \}$ und sei $d \geq 1 \in \N$.
+    Die Menge
+    \begin{align*}
+        \mathcal{S}_{d, \mathcal{G}} = \{ s \in C^{d - 1}[a, b], \smallhspace s_j := s_{|[x_{j - 1}, x_j]|} \text{ ist ein polynom von Grad höchstens } d \}
+    \end{align*}
+    ist die Menge aller auf $[a, b]$ $(d - 1)$ mal stetig ableitbaren Funktionen, die auf $\mathcal{G}$ aus stückweisen Polynomen von Grad höchtens $d$ bestehen
+    und wir der Raum der Splines vom Grad $d$, oder der Ordnung $(d + 1)$ genannt
+\end{definition}
+
+\inlineremark Obige Definition ist undefiniert für $d = 0$, aber $\mathcal{S}_{d, \mathcal{G}}$ kann als die Menge der stückweise Konstanten Funktionen betrachtet werden.
+Im Vergleich zu den Kubischen Hermite-Interpolanten sind die Kubischen-Splines (für $d = 3$) \textit{zweimal} Ableitbar statt nur \textit{einmal}
+
+\inlineremark $\dim(\mathcal{S}_{d, \mathcal{G}}) = N + d$. Es werden oft kubische Splines in Anwendungen verwendet