[NumCS] Add new innumpy command, start splines section

semester3/numcs/parts/01_interpolation/00_polynomial/01_monome.tex

@@ -36,4 +36,4 @@ Zur Auswertung von $p(x)$ kann man direkt die Matrix-darstellung nutzen, oder ef
 
 \fancydef{Horner Schema} $p(x) = (x \ldots x ( x (\alpha_n x + \alpha_{n-1}) + \ldots + \alpha_1) + \alpha_0)$
 
-\fhlc{Cyan}{In NumPy} \verb|polyfit| liefert die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)
+\innumpy liefert \verb|polyfit| die direkte Auswertung, \verb|polyval| wertet Polynome via Horner-Schema aus. (Gemäss Script, in der Praxis sind diese Funktionen \verb|deprecated|)

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/02_fft.tex

@@ -38,5 +38,5 @@ Wir formen die Fourier-Transformation um für den ersten Fall ($N = 2m$):
 Der zweite Fall ist einfach eine rekursive Weiterführung des ersten Falls,
 bei welchem dann das $m$ kontinuierlich weiter dividiert wird bis zum Trivialfall mit einer $1 \times 1$-Matrix.
 
-\fhlc{Cyan}{In NumPy} gibt es die Funktionen \texttt{np.fft.fft} (Vorwärts FFT), \texttt{np.fft.ifft} (Rückwärts FFT). 
+\innumpy gibt es die Funktionen \texttt{np.fft.fft} (Vorwärts FFT), \texttt{np.fft.ifft} (Rückwärts FFT). 
 \texttt{scipy.fft} liefert dieselben Funktionen und sie sind oft etwas schneller als die von \texttt{numpy}

semester3/numcs/parts/01_interpolation/01_trigonometric/05_dft-chebyshev.tex

@@ -43,7 +43,7 @@ Auf Seite 102 im Skript findet sich auch eine effiziente Implementation dessen.
 \inlineremark Die Formel in Satz 2.4.16 (und in der eben erwähnten Implementierung) sind nichts anderes als eine Version der DCT (Discrete Cosine Transform).
 Dies ist eine günstigere, aber beschränktere Variante der DFT, mit der nur reellwertige, gerade Funktionen interpoliert werden können.
 
-\fhlc{Cyan}{In NumPy} benutzen wir \texttt{scipy.fft.dct}. Dazu müssen die Mesungen in den Punkten $x_j = \cos\left( (j + 0.5) \cdot \frac{\pi}{N} \right)$
+\innumpy benutzen wir \texttt{scipy.fft.dct}. Dazu müssen die Mesungen in den Punkten $x_j = \cos\left( (j + 0.5) \cdot \frac{\pi}{N} \right)$
 
 \inlineremark Die Chebyshev-Koeffizienten $c_j$ können folgendermassen berechnet werden:
 \rmvspace

semester3/numcs/parts/01_interpolation/02_piece-wise/00_intro.tex

@@ -1,4 +1,5 @@
 % Lecture: \chi here are used as RELU function!
+\subsection{Stückweise Lineare Interpolation}
 Globale Interpolation (also Interpolation auf dem ganzen Intervall $]-\infty, \infty[$) funktioniert nur dann gut, wenn:
 \rmvspace
 \begin{enumerate}[label=(\alph*), noitemsep]

semester3/numcs/parts/01_interpolation/02_piece-wise/01_hermite-interpolation.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ und deren Ableitung $\psi'(t) = t(3t - 2)$. Mit demselben Variablenwechsel müss
 \end{align*}
 Die Interpolationsfunktion ist dann einfach die Summe $s_j(x) = p_j(x) + q_j(x) \mediumhspace \text{für } x \in [x_{j - 1}, x_j]$
 
-\fhlc{Cyan}{In Numpy} verwendet man \texttt{scipy.interpolate.Akima1DInterpolator} oder \texttt{PchipInterpolator}, welcher ``formerhaltender'' ist,
+\innumpy verwendet man \texttt{scipy.interpolate.Akima1DInterpolator} oder \texttt{PchipInterpolator}, welcher ``formerhaltender'' ist,
 also wenn eine Funktion lokal monoton ist, so ist der Interpolant dort auch monoton.
 Bei anderen Interpolationsmethoden ist dies nicht garantiert (so auch nicht beim \texttt{Akima1DInterpolator})
 

semester3/numcs/parts/01_interpolation/02_piece-wise/02_splines.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\newsectionNoPB
+\subsection{Splines}
+\begin{definition}[]{Raum der Splines}
+    Sei $[a, b] \subseteq \R$ ein Intervall, sei $\mathcal{G} = \{ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_N = b \}$ und sei $d \geq 1 \in \N$.
+    Die Menge
+    \begin{align*}
+        \mathcal{S}_{d, \mathcal{G}} = \{ s \in C^{d - 1}[a, b], \smallhspace s_j := s_{|[x_{j - 1}, x_j]|} \text{ ist ein polynom von Grad höchstens } d \}
+    \end{align*}
+    ist die Menge aller auf $[a, b]$ $(d - 1)$ mal stetig ableitbaren Funktionen, die auf $\mathcal{G}$ aus stückweisen Polynomen von Grad höchtens $d$ bestehen
+    und wir der Raum der Splines vom Grad $d$, oder der Ordnung $(d + 1)$ genannt
+\end{definition}
+
+\inlineremark Obige Definition ist undefiniert für $d = 0$, aber $\mathcal{S}_{d, \mathcal{G}}$ kann als die Menge der stückweise Konstanten Funktionen betrachtet werden.
+Im Vergleich zu den Kubischen Hermite-Interpolanten sind die Kubischen-Splines (für $d = 3$) \textit{zweimal} Ableitbar statt nur \textit{einmal}
+
+\inlineremark $\dim(\mathcal{S}_{d, \mathcal{G}}) = N + d$. Es werden oft kubische Splines in Anwendungen verwendet