eth-janishutz/eth-summaries
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[NumCS] Add new innumpy command, start splines section

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Janis Hutz
2025-10-14 14:48:05 +02:00
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semester3/numcs/parts/00_introduction/02_matrix-multiplication.tex
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@@ -6,7 +6,7 @@
\subsection{Rechnen mit Matrizen}
Wie in Lineare Algebra besprochen, ist das Resultat der Multiplikation einer Matrix $A \in \C^{m \times n}$ und einer Matrix $B \in \C^{n \times p}$ ist eine Matrix $AB = \in \C^{m \times p}$
\fhlc{Cyan}{In NumPy} haben wir folgende Funktionen:
\innumpy haben wir folgende Funktionen:
\begin{itemize}
\item \verb|b @ a| (oder \verb|np.dot(b, a)| oder \verb|np.einsum('i,i', b, a)| für das Skalarprodukt
\item \verb|A @ B| (oder \verb|np.einsum('ik,kj->ij', )|) für das Matrixprodukt
@@ -59,7 +59,7 @@ Sei $A = ab^\top$. Dann gilt $y = Ax \Leftrightarrow y = a(b^\top x)$, was dasse
\inlineex Für zwei Matrizen $A, B \in \R^{n \times p}$ mit geringem Rang $p \ll n$, dann kann mithilfe eines Tricks die Rechenzeit von \verb|np.triu(A @ B.T) @ x| von $\tco{pn^2}$ auf $\tco{pn}$ reduziert werden.
Die hier beschriebene Operation berechnet $\text{Upper}(AB^\top) x$ wobei $\text{Upper}(X)$ das obere Dreieck der Matrix $X$ zurück gibt.
Wir nennen diese Matrix hier $R$.
Wir können in NumPy den folgenden Ansatz verwenden, um die Laufzeit zu verringern:
\innumpy können wir den folgenden Ansatz verwenden, um die Laufzeit zu verringern:
Da die Matrix $R$ eine obere Dreiecksmatrix ist, ist das Ergebnis die Teilsummen von unserem Umgekehrten Vektor $x$, also können wir mit \verb|np.cumsum(x[::-1], axis=0)[::-1]| die Kummulative Summe berechnen.
Das \verb|[::-1]| dient hier lediglich dazu, den Vektor $x$ umzudrehen, sodass das richtige Resultat entsteht.
Die vollständige Implementation sieht so aus:
@@ -80,7 +80,9 @@ Die vollständige Implementation sieht so aus:
\setcounter{all}{21}
\fancydef{Kronecker-Produkt} Das Kronecker-Produkt ist eine $(ml) \times (nk)$-Matrix, für $A \in \R^{m \times n}$ und $B \in \R^{l \times k}$, die wir in NumPy einfach mit \verb|np.kron(A, B)| berechnen können (ist jedoch nicht immer ideal):
\fancydef{Kronecker-Produkt} Das Kronecker-Produkt ist eine $(ml) \times (nk)$-Matrix, für $A \in \R^{m \times n}$ und $B \in \R^{l \times k}$.
\innumpy können wir dieses einfach mit \verb|np.kron(A, B)| berechnen (ist jedoch nicht immer ideal):
\begin{align*}
A \otimes B :=
\begin{bmatrix}