eth-janishutz/eth-summaries
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[TI] Finish section on proofs of nonexistance

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Janis Hutz
2025-10-17 07:47:08 +02:00
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semester3/ti/parts/02_finite-automata/02_proofs-of-nonexistance.tex
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@@ -124,8 +124,12 @@ Dies ist aber unmöglich, da:
Für komplexere Sprachen ist es oft einfach, $L_x$ so zu wählen, dass $x = a^{\alpha + 1}$ ist, wobei $\alpha$ der Exponent (nach Variabelnwechsel) aus der Sprache ist.
Also beispielsweise für $L = \{ 0^{n^2 \cdot 2n \divides n \in \N }\}$ ist $\alpha = m^2 \cdot 2m$, also ist $x = 0^{m^2 \cdot 2m + 1}$.
$y_1$ (das erste Wort der Sprache $L_x$) ist dann $y_1 = 0^{(m + 1)^2 \cdot 2(m + 1) - m^2 \cdot 2m + 1}$
$y_1$ (das erste Wort der Sprache $L_x$) ist dann $y_1 = 0^{(m + 1)^2 \cdot 2(m + 1) - m^2 \cdot 2m + 1}$.
Wir können dann mit der Länge des Wortes $|y_1|$ und dem Theorem 3.1 argumentieren, dass wir einen Widerspruch erreichen und so also die Sprache nichtregulär ist.
Dazu sagen wir, dass für jedes $m \in \N$ ein $c$ existiert, so dass $K(y_1) \leq \ceil{\log_2(1 + 1)} + c = 1 + c$.
Da unser Wort $y_1$ unendlich lang werden kann, gibt es unendlich viele solcher Wörter.
Dies widerspricht jedoch dem Fakt, dass es nur endlich viele Programme mit Kolmogorov-Komplexität $\leq 1 + c$ gibt.
\numberingOn