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\subsection{Nichtdeterminismus}
Einfach gesagt werden hier Automaten behandelt, die zufällige (genannt \bi{nichtdeterministische}) Entscheidungen treffen.
Beispielsweise für ein Entscheidungsproblem $(\Sigma, L)$ bedeutet dies, dass ein nichtdeterministischer EA $A$ eine Sprache $L$ akzeptiert,
falls für jedes $x \in L$ mindestens eine akzeptierende Berechnung von $A$ auf $x$ existiert und für $y \in \word - L$ keine solve existiert.

Wir notieren das Ganze in graphischer Darstellung so, dass wir aus einem Zustand mehrere Übergänge mit dem gleichen Eingabesymbol erlauben.

\begin{definition}[]{nichtdeterministischer Endlicher Automat (NEA)}
    Ein NEA ist eine Quitupel $M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$:
    \begin{enumerate}[label=\textit{(\roman*)}]
        \item \bi{Zustandsmenge:} $Q$ ist eine endliche Menge
        \item \bi{Eingabealphabet:} $\Sigma$ ist ein Alphabet
        \item \bi{Übergangsfunktion:} $\delta : Q \times \Sigma \rightarrow \mathcal{P}(Q)$. $\mathcal{P}(Q)$ ist das Powerset hierbei
        \item \bi{Anfangszustand:} $q_0 \in Q$
        \item \bi{Akzeptierende Zustände:} $F \subseteq Q$
    \end{enumerate}
    Ein \bi{Schritt} in der $\delta$-Notation ist im Vergleich zum deterministischen EA nicht $\delta(q, a) = p$,
    sondern $p \in \delta(q, a)$ ist, da die Übergangsfunktion ja jetzt ins Powerset von $Q$,
    anstelle von nach $Q$ direkt mapped. Die komplette Definition des Schritts ist also:
    \begin{align*}
        (q, w) \bigvdash{M}{} (p, x) \Longleftrightarrow w = ax \text{ für ein } a \in \Sigma \text{ und } p \in \delta(q, a)
    \end{align*}

    Eine \bi{Berechnung von $M$} ist eine endliche Folge $D_1, D_2, \ldots, D_k$ von Konfigurationen,
    wobei $D_i \bigvdash{M}{} D_{i + 1}$ für $i = 1, \ldots, k - 1$

    Eine \bi{Berechnung von $M$ auf $x$} hingegen ist eine Berechnung $C_0, C_1, \ldots, C_m$ von $M$,
    wobei $C_0 = (q_0, x)$ und entweder $C_m \in Q \times \{ \lambda \}$ oder $C_M = (q, ay)$ für ein $a \in \Sigma, y \in \word$ und $q \in Q$,
    so dass $\delta(q, a) = \emptyset$.

    $C_0, \ldots, C_m$ ist \bi{akzeptierend} falls $C_m = (p, \lambda)$ für ein $p \in F$

    Die Sprache $L(M) = \{ w \in \word \divides (q_0, w) \bigvdash{M}{*} (p, \lambda) \text{ für ein } p \in F \}$

    Für die $\hdelta$-Funktion, gilt nun $\hdelta(q, \lambda) = \{ q \}$ für jedes $q \in Q$ und wir definieren:
    \begin{align*}
        \hdelta(q, wa) & = \{ p \in Q \divides \text{es existiert ein } r \in \hdelta(q, w), \text{ so dass } p \in \delta(r, a) \} \\
                       & = \bigcup_{r \in \hdelta(q, w)} \delta(r, a) \smallhspace \forall q \in Q, a \in \Sigma, w \in \word
    \end{align*}
\end{definition}
Ein Wort ist in $L(M)$, falls $M$ mindestens eine akzeptierende Berechnung auf $x$ hat.

Bei einer akzeptierenden Berechnung \textit{auf} $x$ wird wie beim EA gefordert, dass das ganze Wort $x$ gelesen worden ist und $M$ nach dem Lesen in einem akzeptierenden Zustand ist.

Bei NEA kann eine nicht akzeptierende Berechnung auch vor Beendung des Lesevorgangs enden, da wir hier nicht vorschreiben,
dass es für jedes Symbol des Eingabealphabets eine definierte Übergangsfunktion gibt, es ist also erlaubt, dass bspw. $\delta(q, a) = \emptyset$.

Zudem haben wir aus der Definition von $\hdelta$ eine alternative Definition der von $M$ akzeptierten Sprache:
$L(M) = \{ w \in \word \divides \hdelta(q_0, w) \cap F \neq \emptyset \}$

Für NEA kann man einen \bi{Berechnungsbaum $\mathcal{B}_M(x)$ von $M$ auf $x$} erstellen, der dann anschaulich alle möglichen Enden der Berechnung darstellt.
Wir beginnen den Baum mit Konfiguration $(q_0, x)$ und führen dann mit den Kanten alle möglichen Berechnungen aus, die mit dem ersten Symbol des Wortes möglich sind.

Wir erreichen so also zum Beispiel die Konfiguration $(q_1, x_1)$, wobei $x_1$ $x$ ohne das erste Zeichen ist.


\fancylemma{NEA aus Abbildung 3.15 im Buch} Sei $M$ der NEA aus Abbildung 3.15 im Buch (auf Seite 77 (= 92 im PDF) zu finden).
Dann ist $L(M) = \{ x11y \divides x, y \in \wordbool \}$

Der Beweis für eine solche Aussage läuft oft über Teilmengen (also mit $X \subseteq Y \land Y \subseteq X \Leftrightarrow X = Y$).


Eine zentrale Frage dieses Kapitels ist es, ob $\mathcal{L}_{\text{NEA}} = \mathcal{L}_{\text{EA}}$, wobei $\mathcal{L}_{\text{NEA}} = \{ L(M) \divides M \text{ ist ein NEA} \}$.
In anderen Worten: Können EA die Arbeit von NEA simulieren?

Ja, es ist möglich und gilt allgemein, dass die Simulation von Nichtdeterminismus durch Determinismus nur dann realisierbar ist,
wenn es möglich ist, alle nichtdeterministischen Berechnungen durch deterministische Berechnungen nachzuahmen.

Bei EA (nennen einen $A$ im Folgenden) basiert diese Idee auf BFS der Berechnungsbäume von $M$.
Die Idee ist dann, dass alle Knoten mit Entfernung $i$ von der Wurzel die ersten $i$ Symbole von $x$ gelesen haben.
Da NEA endlich viele Konfigurationen bei Entfernung $i$ haben ist es möglich, die Transformation durchzuführen.
Wenn es zwei Knoten $u \neq v$ identisch sind, so müssen wir nur in einem der Teilbäume nach einer akzeptierenden Berechnung suchen.

\bi{Potenzmengenkonstruktion:} Ein Zustand $\langle P \rangle$ von $A$ für $P \subseteq Q$ erhält die Bedeutung,
dass nach der gegebenen Anzahl an Berechnungsschritten genau die Zustände aus $P$ in den Berechnungen von $M$ auf der gegebenen Ebene erreichbar sind, also $P = \hdelta(q_0, z)$.
Ein Berechnungsschritt in $A$ aus einem Zustand $\langle P \rangle$ für ein gelesenes Symbol $a$ bedeutet die Bestimmung der Menge $\bigcup_{p \in P} \delta(p, a)$,
also aller Zustände, die aus irgendeinem Zustand $p \in P$ beim Lesen von $a$ erreichbar sind.

Dabei benutzen wir $\langle P \rangle$ statt $P$, um zu verdeutlichen, dass wir eine Zustand von $A$ und nicht die Menge der Zustände von $M$ bezeichnen.

Ein EA, der die Sprache, bei welcher das $k$-letzte Symbol $1$ ist, benötigt $2^k$ Zustände.
Er wird dabei aus dem NEA dieser Sprache mit der Potenzmengenkonstruktion gebildet.

\inlinetheorem Zu jedem NEA $M$ existiert ein EA $A$, so dass $L(M) = L(A)$

Um $L(M) = L(A)$ zu zeigen, müssen wir folgende Äquivalenz beweisen:
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\begin{align*}
    \forall x \in \word : \hdelta_M(q_0, x) = P \Longleftrightarrow \hdelta(q_{0 A}, x) = \langle P \rangle
\end{align*}

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Wir können dies über einen Induktionsbeweis tun und ein vollständiger Beweis findet sich unten auf Seite 82 (= Seite 97 im PDF) im Buch.

Wir sagen, dass zwei Automaten \bi{äquivalent} sind, falls $L(A) = L(B)$.

Eine Folge von Satz 3.2 ist eben, dass $\mathcal{L}_{\text{EA}} = \mathcal{L}_{\text{NEA}}$, also sind die EA genau so stark wie die NEA im Bezug auf die Sprachakzeptierung.
Was hingegen ein Problem sein kann, ist dass die durch die Potenzmengenkonstruktion erzeugten Automaten (exponentiell) grösser sind als die NEA.

Es gibt gewisse NEA, bei welchen man bei der Simulation des Nichtdeterminismus durch Determinismus unausweichlich in exponentiell grösseren EA resultiert.
Man kann beweisen (siehe Seiten 83 und 84 mit Abbildung 3.19 im Buch (= Seiten 98 \& 99 im PDF)), dass man die Potenzmengenkonstruktion nicht allgemein verbessern kann.

\inlinelemma Für alle $k \in \N - \{ 0 \}$ muss jeder EA, der $L_k = \{ x1y \divides x \in \wordbool, y \in (\alphabetbool)^{k - 1} \}$ akzeptiert, mindestens $2^k$ Zustände haben.
