\subsection{Bedingte Wahrscheinlichkeit}
\shortdefinition Für $(\Omega, \cF, \P)$ mit $A, B \in \cP(\Omega)$ mit $\P[B] > 0$:
\[
    \P[A | B] = \frac{\P[A \cap B]}{\P[B]} \quad (= \P[A] \text{ wenn $B = \Omega$ ist})
\]
\shortremark $\P[B | B] = 1$

\shorttheorem $B \in \cP(\Omega)$, dann ist $\P[ \cdot | B]$ ein W-Mass auf $\Omega$

\shorttheorem[Totale W.] $\Omega = B_1 \cup \dots \cup B_n$ mit $B_i$s eine Partition von $\Omega$, mit $B_i$ paarw. disj. und $\P[B_i] > 0\; \forall 1 \leq i \leq n$. Dann:
\[
    \forall A \in \cF \quad \P[A] = \sum_{i = 1}^{n} \P[A | B_i] \cdot \P[B_i]
\]

\shorttheorem[Bayes] $B_i$ wie oben, dann $\forall A$ mit $\P[A] > 0$:
\[
    \forall i = 1, \ldots, n \quad \P[B_i | A] = \frac{\P[A | B_i] \P[B_i]}{\sum_{j = 1}^{n} \P[A | B_j] \P[B_j]}
\]
