\subsection{Zentraler Grenzwertsatz}
\shortdefinition[Konvergenz in Verteilung] $(\cX_n)_{n \in \N}$, $\cX$ mit V.F.\\
$(F_n)_{n \in \N}$, $F$.
$(\cX_n)_{n \in \N}$ \bi{konvergiert in V.} gegen $\cX$
($\cX_n \overset{d}{\rightarrow} \cX$ für $n \rightarrow \8$), falls $\forall$ Stetigkeitsp. $x \in \R$ von $F$ gilt:
\[
    \limit{n}{\8} F_n(x) = \limit{n}{\8} \P[\cX_n \leq x] = \P[\cX \leq x] = F(x)
\]

\shorttheorem[Zentraler Grenzwertsatz (\textbf{ZGS})]\\
{\scriptsize i.i.d = independent and identically distributed (u.i.v in DE, see \ref{sec:rv-indep})}

$\cX_k$ i.i.d mit $\E[\cX_k] = \mu$, $\V[\cX_k] = \sigma^2$. Für Partialsummen $S_n = \sum_{k = 1}^{n} \cX_k$ gilt $\forall x \in \R$ (mit $\Phi$ V.F. von Std.-Norm.-V):
\[
    \limit{n}{\8} \P \left[ \frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq x \right] = \Phi(x)
\]

\shortremark $\E[S_n] \! = \! n \mu$, $\V[S_n] \! = \! n \sigma^2$; $S_n^* \! = \! \frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN(0, 1)$
für grosse $n$, mit $\overset{\text{approx}}{\sim}$ gespr. ``approximativ verteilt gemäss''.
Also ist für $\E[S_n^*] = 0$ und $\V[S_n^*] = 1$.

Also: $S_n \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN(n\mu, n\sigma^2)$,
bzw. $\overline{\cX}_n \! \overset{\text{approx}}{\sim} \! \cN \left( \mu, \frac{1}{n} \sigma^2 \right)$

\shortremark Für $S_n \sim \text{Bin}(n, p)$ ist $S_n^* \overset{\text{approx}}{\sim} \cN(np, np(1 - p))$ und
$\P[a < S_n \leq b] \approx \Phi \left( \frac{b + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right) - \Phi \left( \frac{a + \frac{1}{2} - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \right)$

\shortremark Für $\P[S_n \leq y]$: ZGS verwenden mit $\displaystyle x = \frac{y - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$,
oder $\displaystyle x = \frac{x - n\mu}{\sigma}$ % TODO: When which?
