\subsubsection{Normalverteilung}
\shortdefinition $\cX \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ falls $f_\cX(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2}$,\\
mit $\sigma$ Standardabweichung. Auch: Gauss'sche Verteilung

\shortdefinition[Standardnormalverteilung] $\cX \sim \cN(0, 1)$:\\
$\Phi = \int_{-\8}^{x} \varphi(t) \dx t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\8}^{x} e^\frac{-t^2}{2} \dx t$ mit $\varphi = f_\cX$.\\
\bi{Es gilt}: $\Phi(-t) = 1 - \Phi(t)$

\shorttheorem $\cX \sim \cN(\mu, \sigma^2)$, dann $\frac{\cX - \mu}{\sigma} \sim \cN(0, 1)$, also:
\[
    F_\cX(x) = \P[\cX \leq x] = \P\left[ \frac{\cX - \mu}{\sigma} \leq \frac{x - \mu}{\sigma} \right] = \Phi \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)
\]

\newpage
\shortexample für Phänomene modellierbar mit Normalverteilung:
\begin{itemize}
    \item Streuung von Messwerten um Mittelwert
    \item Grösse und Gewicht der Bevölkerung
    \item Renditen von Aktien
\end{itemize}

\shortremark Für $\cX_i \sim \cN(\mu_i, \sigma_i^2)$ unabhängig gilt:
\[
    \cY := \mu_0 + \sum_{k = 1}^{n} a_k \cX_k \sim \cN\left( \mu_0 + \sum_{k = 1}^{n} a_k \mu_k, \sum_{k = 1}^{n} a_k^2 \sigma_k^2 \right)
\]

\shortremark Für $\mu \in \R, \sigma^2 > 0$ und $\cZ \sim \cN(0, 1)$ gilt\\
$\mu + \sigma \cZ \sim \cN(\mu, \sigma^2)$ (nützlich für Simulation)

\shortremark $\P[|\cX - \mu| \geq 3\sigma] \leq 0.0027$
