\subsection{Wahrscheinlichkeitsräume}
\shortterm $\Omega$ \bi{Grundraum}, $\omega \in \Omega$ \bi{Elementarereignis}

\shortdefinition[Sigma-Algebra] $\cF \subseteq \cP(\Omega)$ ist $\sigma$-Algebra, falls:
\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
    \item $\Omega \in \cF$
    \item $A \in \cF \Rightarrow A^C \in \cF$ ($A$ Ereignis $\Rightarrow$ nicht $A$ auch)
    \item $A_1, A_2, \ldots \in \cF \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \cF$\\
        ($A_1, \ldots$ Ereignisse $\Rightarrow$ $A_1$ oder $A_2$ oder \dots ein Ereignis)
\end{enumerate}

\shortexample $\sigma$-Algebren bei 1x Würfeln ($\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$)
\begin{itemize}
    \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \}$
    \item $\cF = \cP(\Omega)$, dabei $|\cF| = 64$
    \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2 \}, \{ 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$
\end{itemize}

Keine $\sigma$-Algebren sind bspw:
\begin{itemize}
    \item $\cF = \{ \Omega \}$ (Komplementärereignis $\emptyset$ fehlt, E2 verletzt)
    \item $\cF = \{ \emptyset, \{ 1, 2, 3 \}, \{ 4, 5, 6 \}, \{ 1 \}, \{ 2, 3, 4, 5, 6 \}, \Omega \}$\\
        (E3 verletzt, da bspw $\{ 4, 5, 6 \} \cup \{ 1 \} \notin \cF$)
\end{itemize}


\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsmass}
\shortdefinition[W.M] $\P : \cF \rightarrow [0, 1]$ mit $A \mapsto \P[A]$, notiert $(\Omega, \cF)$, falls folgende Eigenschaften gelten
\begin{enumerate}[label=\textbf{E\arabic*.}]
    \item $\P[\Omega] = 1$
    \item ($\sigma$-\bi{Additivität}) $\P[A] = \sum_{i = 1}^{\infty} \P[A_i]$,\\
          falls $A = \bigcup_{i = 1}^\infty A_i$ \textit{(disjunkte Vereinigung)}
\end{enumerate}
\shortexample Wieder mit Würfeln und $\cF = \cP(\Omega)$, sind W.M:
\begin{itemize}
    \item Abbildung $\forall A \in \cF \quad \P[A] = \frac{|A|}{6}$
    \item Abbildung $\forall A \in \cF \quad \P[A] = \sum_{i \in A} p_i$
          ($p_i$ dabei prob. Zahl $i$ würfeln; $p_i = \frac{1}{6} \forall i \in \Omega$ ist für fairen Würfel)
\end{itemize}


\newpage
\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsraum}
\shortdefinition[W.R] ein Tripel $(\Omega, \cF, \P)$

\shortterm $A$ Ereignis, \bi{tritt (nicht) ein} (für $\omega$), if $\omega \in (\notin) A$

\shortremark $A = \varnothing$ tritt niemals ein, $A = \Omega$ immer.
