\subsubsection{Geometrische Verteilung}
{\scriptsize Warten auf den ersten Erfolg (in $\8$ Folge von Bernoulli-Experimenten)}

\shortdefinition $\cX \sim \text{Geom}(p)$ mit $W = \N \backslash \{0\}$ falls $\forall k \in W$\\
$\P[\cX = k] = (1 - p)^{k - 1} p$

\shortremark[Verteilung] $F_\cX(k) = 1 - (1 - p)^k$

\shortremark $\P[\cX = 1] = p$, da wir Konvetion $a^0 = 1$ verwenden.

\shortremark $\sum_{k = 0}^{\8} p(k) = p \cdot \sum_{k = 0}^{\8} (1 - p)^{k - 1} = p \cdot \frac{1}{p} = 1$

\shorttheorem $X_i \sim \text{Ber}(p)$ für $i \in \N$.\\
Dann $( T := \min\{ n \geq 1 \divider X_n = 1 \} )\sim \text{Geom}(p)$

\shortremark $T = \8$ ist möglich, $\P[T = \8] = 0$

\shorttheorem[Gedächtnislosigkeit] $T \sim \text{Geom}(p)$, dann\\
$\forall n \geq 0 \; \forall k \geq 1 \; \P[T \geq n + k \divider T > n] = \P[T \geq k]$
